28.5. Основные теоремы линейного программирования. Допустимые множества и оптимальные решения задач линейного программирования.

Теорема 28.5.1: Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования, является выпуклым.

Теорема 28.5.2: Если существует, и при том единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений. Если линейная форма принимает минимальное (максимальное) значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Из теоремы 28.5.2 следует, что поиски оптимального решения можно ограничить перебором конечного числа угловых точек (их число меньше , где n - число неизвестных , а m – число ограничений), однако построение возможно только для двух и трёхмерных пространств, поэтому нужны аналитические методы, позволяющие находить координаты угловых точек.

Теорема 28.5.3: Если известно, что система векторов в разложении линейно независима и такова, что , где , то точка является угловой точкой многогранника решений.

Теорема 28.5.4: Если - угловая точка многогранника решений, то векторы в разложении , соответствующие положительным , являются линейно независимыми.

Следствие 28.5.1: Так как векторы имеют размерность m, то угловая точка многогранника решений имеет не более m положительных компонент .

Следствие 28.5.2: Каждой угловой точке многогранника решений соответствует линейно независимых векторов системы векторов .

28.6. Симплексный метод решения задачи линейного программирования.

Доказано, что оптимальное решение задачи линейного программирования связано с угловыми точками многоугольника решений, то есть с опорными планами. Они определяются системой m - линейно независимых векторов, содержащихся в системе из n - векторов . Количество опорных планов меньше , где n - число неизвестных, а m – число ограничений. При больших n и m найти все их перебором очень трудно, поэтому необходимо упорядоченный перебор, такой схемой является симплексный метод, который позволяет исходя из известного опорного плана задачи, за конечное число шагов получить её оптимальный план. Каждый из шагов (итераций) состоит в нахождении нового плана, которому соответствует меньшее для задачи на минимум (большее для задачи на максимум) значение линейной формы, чем её значение в предыдущем плане. Процесс продолжается до получения оптимального плана. Если задача не обладает планами или её линейная форма неограниченна на многограннике решений, то симплексный метод позволяет установить это в процессе решения.

28.7. Условия существования и свойства оптимальных решений задачи линейного программирования.

28.7.1. Оптимальные решения.

Вектор х* = [х1, ..., х*„]^т называется оптимальной точкой, а соответствующее значение f (x*) — оптимальным значением целевой функции. Пара х* и / (х^) составляет оптимальное решение. Как показано на примере мультимодальной функции на рис. 28.7.1.1., могут существовать различные типы оптимальных решений, если целевая функция не является унимодальной (т. е. имеющей один экстремум). Глобальное оптимальное решение представляет собой наименьшее значение (х), тогда как локальное (или относительное) оптимальное решение представляет собой наименьшее значение (х) в окрестности некоторого вектора х. Как для глобального, так и для локального минимума f(x*)</(x), но для глобального оптимального решения это соотношение выполняется для всех х в Еп, тогда как для локального оптимального решения это имеет место только для малой области £, где || х — х*||<£. Если принимается во внимание и точность решения, го условие оптимальности можно представить в виде, где у — некоторая малая величина. Все алгоритмы, описываемые далее, дают лишь локально оптимальные решения, так как на каждом этапе решения при движении к х* они зависят в основном от локальных свойств целевой функции и ограничений. На практике предположение о том, что локальный экстремум является глобальным, может быть проверено путем использования нескольких начальных векторов, но даже если найдено только одно локальное решение, в общем случае нельзя показать, что это решение обязательно является глобальным оптимумом. К счастью, для задач, соответствующих действительным физическим процессам, целевая функция обычно является хорошей и обладает единственным экстремумом. Поэтому для большинства практических целей использование численных процедур, дающих локальное решение задачи программирования, не является большим недостатком.

Рис. 28.7.1.1.