26. Общие положения о системном анализе.

Одним из важнейших этапов системного анализа является процесс принятия решения (процесс выбора). Выбор является действием, придающим всей деятельности целенаправленность. Именно выбор реализует подчиненность всей деятельности определенной цели или совокупности целей. Рано или поздно наступает момент, когда дальнейшие действия могут быть различными, приводящими к разным результатам, а реализовать можно только одно действие, причем вернуться к ситуации, имевшей место в этот момент, уже (как правило) нельзя. Естественно стремление понять, что такое "хороший выбор", выработать рекомендации, как приблизиться к наилучшему решению, а если возможно, то и предложить алгоритм получения такого решения. Работа многих исследователей в этом направлении выявила характерную ситуацию, типичную для моделирования (в данном случае - моделирования процессов принятия решений): полная формализация нахождения наилучшего решения возможна, но лишь для хорошо изученных (хорошо структурированных) задач; для решения слабо структурированных задач полностью формальных алгоритмов не существует (если не считать тривиального и далеко не всегда приемлемого алгоритма перебора, т.е. метода проб и ошибок), но опытные и способные специалисты часто делают выбор, оказывающийся хорошим. Современная тенденция практики выбора в естественных ситуациях состоит в сочетании способности человека решать неформализованные задачи с возможностями формальных методов и компьютерного моделирования (например, диалоговые системы поддержки решений, экспертные системы, информационно-поисковые системы, системы управления базами данных, автоматизированные системы управления и т.п.).

Задачи выбора чрезвычайно многообразны, различны и методы их решения. Прежде всего, введем понятия, общие для всех задач выбора. Будем представлять принятие решения как действие над множеством альтернатив, в результате которого получается подмножество выбранных альтернатив (обычно это одна альтернатива, что не обязательно, а иногда и невозможно). Сужение множества альтернатив возможно, если имеется способ сравнения альтернатив между собой и определения наиболее предпочтительных. Каждый такой способ будем называть критерием предпочтения. Обратим внимание на то, что при таком описании выбора считают сами собой разумеющимися, уже пройденными, два чрезвычайно важных этапа:

1) порождение множества альтернатив, на котором предстоит осуществлять выбор;

2) определение целей, ради достижения которых производится выбор.

В практике системного анализа реализация этих этапов связана с определенными трудностями, для преодоления которых необходимы свои приемы и методы.

Множественность задач выбора. Даже в такой упрощенной постановке проблема выбора не тривиальна и допускает существенно различающиеся математические постановки задач. Дело в том, что каждая компонента ситуации выбора может реализовываться в качественно различных вариантах. Отметим основные варианты:

множество альтернатив может быть конечным, счетным или континуальным;

оценка альтернативы может осуществляться по одному или по нескольким критериям, которые в свою очередь могут иметь как количественный, так и качественный характер;

режим выбора может быть однократным (разовым) или повторяющимся, допускающим обучение на опыте;

последствия выбора могут быть точно известны (выбор в условиях определенности), иметь вероятностный характер, когда известны вероятности возможных исходов после сделанного выбора (выбор в условиях риска), или иметь неоднозначный исход, не допускающий введения вероятностей (выбор в условиях неопределенности);

ответственность за выбор может быть односторонней (в частном случае индивидуальной) или многосторонней. Соответственно различают индивидуальный и групповой выбор;

степень согласованности целей при многостороннем выборе может варьироваться от полного совпадения интересов сторон (кооперативный выбор) до их противоположности (выбор в конфликтной ситуации). Возможны также промежуточные случаи, например компромиссный выбор, коалиционный выбор, выбор в условиях нарастающего конфликта и т.д. Различные сочетания перечисленных вариантов и приводят к многообразным задачам выбора, которые изучены не в одинаковой степени. Дадим краткий обзор состояния теории выбора в настоящее время, а также рассмотрим некоторые подходы к решению слабо формализованных задач выбора. При этом главное внимание будем уделять постановке задач и важным результатам и лишь упоминать, какие именно теории дают методы решения (теория оптимизации, исследование операций, вариационное исчисление, математическое программирование, теория игр, математическая статистика и т.д.)

Критериальный язык описания выбора. На примере описания выбора видно, как об одном и том же явлении можно говорить на языках различной общности. К настоящему моменту сложилось три основных языка описания выбора. Самым простым, наиболее развитым (и, быть может, поэтому чаще употребляемым в приложениях) является критериальный язык. Это название связано с основным предположением, состоящим в том, что каждую отдельно взятую альтернативу можно оценить конкретным числом (значением критерия), и сравнение альтернатив сводятся к сравнению соответствующих им чисел. Пусть x - некоторая альтернатива из множества X. Считается, что для всех х ∈ Х может быть задана функция q(x), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т.д.) и обладает тем свойством, что если альтернатива х1 предпочтительнее альтернативы x2 (будем обозначать это х1> x2), то q(x1) >q(x2) и обратно.

Выбор как максимизация критерия. Если теперь сделать еще одно важное предположение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям (т.е. считать, что выбор осуществляется в условиях определенности) и заданный критерий q(x) численно выражает оценку этих u1087 последствий, то наилучшей альтернативой х* является, естественно, та, которая обладает наибольшим значением критерия:

Задача отыскания х*, простая по постановке, часто оказывается сложной для решения. Так как метод ее решения (да и сама возможность решения) определяется характером множества Х (размерностью вектора х и типом множества Х - является ли оно конечным, счетным или континуальным) и характером критерия (является ли q(x) функцией или функционалом и какой или каким именно). К этому классу моделей относятся модели линейного и нелинейного программирования. Однако сложность отыскания наилучшей альтернативы существенно возрастает, так как на практике оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается неприемлемым упрощением. Более полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q i (x), i = 1, ..., р. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве Х окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех р критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор.

Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной. Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента: q0(x)= q0 (q1(x),q1(x),..., qp(x)). Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид функции q0 определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или мультипликативные функции:

Коэффициенты si обеспечивают, во-первых, безразмерность числа qi / si (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смысла) и, во-вторых, в необходимых случаях выполнение условия βi qi / si =< 1 Коэффициенты αi, и βi отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий. Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия:

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого метода. Условная максимизация Недостатки свертывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. Рассмотрим второй способ решения таких задач. Он заключается в ином, нежели при свертывании, использовании того факта, что частные критерии обычно неравнозначны между собой (одни из них более важны, чем другие). Наиболее явное выражение этой идеи состоит в выделении основного, главного критерия и рассмотрении остальных как дополнительных, сопутствующих. Такое различие критериев позволяет сформулировать задачу выбора как задачу нахождения условного экстремума основного критерия:

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях. В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко. Например, если сопутствующий критерий характеризует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа неравенств:

В данных вариантах различие между основным и дополнительными критериями выглядит слишком сильным. Иную постановку задачи дает метод уступок. Пусть частные критерии упорядочены в порядке убывания их важности.

Возьмем первый из них и найдем наилучшую по этому критерию альтернативу. Затем определим "уступку" ∆i т.е. величину, на которую мы согласны уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы за счет уступки попытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия, и т.д.

Нахождение паретовского множества. Еще один полностью формализуемый способ многокритериального выбора состоит в отказе от выделения единственной "наилучшей" альтернативы и соглашении о том, что предпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать только если первая по всем критериям лучше второй.. Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимаются. Если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтернативы образуют множество Парето и выбор на этом заканчивается. При необходимости же выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые добавочные критерии и ограничения, либо бросать жребий, либо прибегать к услугам экспертов.

Здесь были рассмотрены наиболее употребительные способы описания выбора в терминах критериального языка.