Минимизация средних затрат.

Рассмотрим случай, когда критерий оптимизации сети представляет собой средние затраты (эффект) за интервал времени.

Предположим, что средние затраты для данной модели существуют и обозначим их минимальное значение через . Кроме того, предположим, что в рассматриваемой сети существует направленный маршрут от любой вершины ,по крайней мере, к одной из вершин, входящих в соответствующий минимальный цикл.

Построим функциональные уравнения для определения .

Пусть  – ИДЗ для системы (сети), если ее текущее состояние в данный момент является . Тогда эквивалентные средние затраты (ЭСЗ) для системы в начальном состоянии  будут равны .

ЭСЗ для каждой вершины  удобно связать с  таким соотношением:

 , ,                (24.7.5)

где  – “вес” -ой вершины.

Тогда

 .                      (24.7.6)

Подставляя  из (24.7.6) в (24.7.1), после несложных преобразований получим функциональное уравнение в виде

 ,                        (24.7.7)

или в следующем эквивалентном виде:

 для всех вершин .

Положив , получим искомые функциональные уравнения

 для всех вершин          (24.7.8)

Для решения функциональных уравнений (24.7.8) целесообразно воспользоваться методом итераций по стратегиям. Заметим, что если найдены значения , удовлетворяющие функциональным уравнением (24.7.8), то и значения = для всех , где  – некоторая произвольная константа, также будут решениями этой системы. Таким образом, значения  не являются единственными и для удобства целесообразно принять одно из них равным нулю (например, ).

Предположим, что на каждой итерации проверяемая пробная стратегия включает ровно один цикл.

Алгоритм метода итераций по стратегиям состоит из следующих процедур.

Первый шаг. Выберем произвольную пробную стратегию, то есть для каждой вершины  некоторую дугу , и положим .

Второй шаг. Для выбранной пробной стратегии вычислим значения  и  решив такую систему уравнений

 для всех ,                 (24.7.9)

где дуга  отображает текущую пробную стратегию в состоянии .

Третий шаг. Проверим возможность дальнейшего улучшения, вычислив

 для всех               (24.7.10)

Четвертый шаг. Если  для всех , то остановимся. Текущая стратегия оптимальна. В противном случае изменим текущую стратегию для каждой вершины  для которой , выбрав дугу, позволяющую достичь значения  в соответствии (24.7.10). Перейти к второму шагу ( )-ой итерации при новой пробной стратегии.

Итак, на каждой итерации требуется решать систему функциональных уравнений (24.7.9). Если проверяемая пробная стратегия включает лишь один цикл, то уравнения (24.7.9) всегда имеют единственное решение.

Заметим, что если составить уравнение (24.7.9) для всех вершин, входящих в цикл, то все веса  исчезнут, так что, получим

 ,

где  – совокупность дуг, входящих в цикл, а  – количество дуг в этом цикле.

Данный алгоритм обладает следующими свойствами:

на каждой итерации ;

вычисления заканчиваются после конечного числа итераций;

оптимальной является та стратегия, которая позволяет достичь значений , при этом .