1.Основные понятия системного анализа 7

1.1.Определения и свойства системы 7

1.2.Виды описаний систем 9

1.3.Понятие системного подхода 11

1.4.Аспекты системного подхода 11

2.Классификация систем 14

3.Модели систем 21

4.Постановка задач принятия решений. 30

5.Классификация задач принятия решений. 30

6.Этапы решения задач. 32

6.1.Одношаговые схемы принятия решения 32

6.2.Многошаговые решения 33

7.Экспертные процедуры. 39

7.1. Задачи оценивания. 39

7.2. Алгоритмы экспертизы. 41

7.3 Методы получения экспертной информации. 43

7.4. Шкалы измерений, методы экспертных измерений. 53

7.5.Проверка согласованности мнений экспертов и классификация экспертных мнений. 56

7.6.Нахождение итогового мнения комиссии экспертов. 57

7.6.2.Медиана Кемени и законы больших чисел. 59

7.7. Основные стадии экспертного опроса. 61

7.8. Оценка компетентности экспертов. 62

7.9. Методы обработки экспертной информации. 73

7.9.1. Статистические методы 74

7.9.2. Алгебраический метод. 80

7.9.3 Методы шкалирования. 82

8. Формирование исходного множества альтернатив и Морфологический анализ. 89

8.1. Общая характеристика алгоритмов 99

8.2. Алгоритмы формирования ИМА 100

8.3. Морфологический анализ. 104

9.Методы многокритериальной оценки альтернатив. 106

9.1. Различные группы задач принятия решений. 106

9.2.Многокритериальная теория полезности (MAUT)(Аксиоматические методы многкритериальной оценки). 108

9.2.1. Основные этапы подхода MAUT 108

9.2.2. Аксиоматическое обоснование 108

9.2.3.Основные теоремы. 110

9.2.4.Построение однокритериальных функций полезности 111

9.2.5. Проверка условий независимости 112

9.2.6.Определение весовых коэффициентов (коэффициентов важности) критериев 115

9.2.7.Определение полезности альтернатив 115

9.2.8.Веса критериев 116

9.2.9.Как люди назначают веса критериев 116

9.2.10.Практическое применение 117

9.2.11.Метод SMART - простой метод многокритериальной оценки. 118

9.2.12.Первый эвристический метод 118

9.2.13.Выводы 119

9.3. Подход аналитической иерархии. 120

9.3.1.Основные этапы подхода аналитической иерархии 120

9.3.2.Структуризация 120

9.3.3.Попарные сравнения. 121

9.3.4.Определение наилучшей альтернативы 123

9.3.5.Проверка согласованности суждений ЛПР 124

9.3.6.Система поддержки принятия решений Expert Choice 124

9.3.7.Контрпримеры и противоречия. 125

9.4.Мультипликативный метод аналитической иерархии 126

9.5.Пример практического применения подхода АНР 131

9.6.Выводы 132

9.7. Методы ELECTRE(Прямые методы многокритериальной оценки альтернатив). 133

9.7.1.Конструктивистский подход 133

9.7.2.Два основных этапа 133

9.7.3.Свойства бинарных отношений 134

9.8.Метод ELECTRE I 134

9.8.1.Этап разработки индексов 136

9.8.2.Этап исследования множества альтернатив 136

9.9.Метод ELECTRE II 136

9.9.1.Этап разработки индексов 136

9.9.2.Этап исследования множества альтернатив 136

9.10.Метод ELECTRE III 137

9.10.1. Этап разработки индексов 137

9.10.2.Этап исследования альтернатив 138

9.10.3.Пример практического применения метода ELECTRE III 140

9.10.4.Некоторые сопоставления 141

10.Деревья решений. 142

11. Методы принятия решений в многокритериальных задачах и постулируемые принципы оптимальности. 146

11.1.Метод главного критерия 150

11.2.Метод доминантной структуры (альтернативы) 150

11.3.Метод "эффективность - стоимость" 151

11.4.Построение множества Парсто (компромиссы Парето) 151

11.5.Отказ от рассмотрения проблемы многокритериального выбора 152

11.6.Методы порогов сравнимости 152

11.7.Компромиссное распределение ресурсов между целями. 153

11.8.Метод деревьев решений 153

11.9.Метод решения многокритериальных задач при вычислимых критериях 154

12. Вербальный анализ решений и диалоговые методы принятия решений. 154

12.1. Особый класс задач принятия решений: неструктуризованные проблемы с качественными переменными 154

12.2. Качественная модель лица, принимающего решения 155

12.2.1. Черты человеческой системы переработки информации 155

12.2.2. Особенности поведения человека при принятии решений 156

12.3. Какими должны быть методы анализа неструктуризованных проблем 156

12.4. Измерения 156

12.4.1. Качественные измерения 157

12.4.2. Сравнительные качественные оценки 158

12.5. Построение решающего правила 159

12.6. Проверка информации ЛПР на непротиворечивость 160

12.7. Обучающие процедуры 160

12.8. Получение объяснений 161

12.9. Основные характеристики методов вербального анализа решений 161

12.10. Метод ЗАПРОС (ЗАмкнутые ПРоцедуры у Опорных Ситуаций) 162

12.10.1. Постановка задачи 162

12.10.2. Пример: как оценить проекты? 162

12.11. Выявление предпочтений ЛПР 163

12.11.1.Единая порядковая шкала для двух критериев 163

12.11.2.Проверка условия независимости для двух критериев 165

12.11.3.Независимость по понижению качества для группы критериев 165

12.11.4.Единая порядковая шкала оценок всех критериев 166

12.11.5.Проверка информации ЛПР на непротиворечивость 166

12.11.6.Частный случай 167

12.11.7. Психологическая корректность процедуры выявления предпочтений ЛПР 167

12.12.Сравнение альтернатив. 168

12.12.1.Упорядочение группы заданных альтернатив 169

12.13. Преимущества метода ЗАПРОС 169

12.13.1. Практическое применение метода ЗАПРОС 170

12.14. Сравнение трех СППР 170

12.15.Выводы 171

13.Функция полезности. 172

13.1. Методы аппроксимации функции полезности. 177

13.1.1. Методы обобщенного критерия Подиновского. 177

13.1.2. Методы функций ценности. 178

13.1.3. Методы “уклонений”. 178

14. Принятие решений в условиях неопределенности. 179

15. Статические модели принятия единичных решений в условиях определенности. 181

15.1. Метод сравнительного учета затрат. 181

15.2. Метод сравнительного учета прибыли. 184

15.3. Метод сравнительного учета рентабельности. 186

15.4. Метод статических амортизационных расчетов. 188

16.Сущность глобального и локального критериев оптимальности. 189

17.Критерии принятия решений. 194

17.1. Критерий Байеса-Лапласа. 194

17.2.Составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный. 194

17.3.Критерий Гермейера. 196

17.4. Критерий Сэвиджа. 197

17.5.Критерий Гурвица. 198

17.6.Критерий произведений. 198

18.Принятие коллективных решений. 199

18.1.Плюсы и минусы коллективных решений, современные концепции группового выбора. 199

18.2. Теорема Эрроу о невозможности. Анализ предпосылок 212

теоремы Эрроу. 212

18.3.Правило Кондорсе. 217

18.4.Правило Борда. 218

19.Принятие решений в условиях нечеткой информации. 219

19.1.Зачем нужны нечеткие множества. 219

19.2. Операции над нечеткими множествами. 224

19.3. Задача достижения нечетко определенной цели. 228

19.4.Нечеткие отношения и их свойства. 230

19.4.1.Основные определения. 230

19.4.2.Операции над нечеткими отношениями. 232

19.4.3.Свойства нечетких отношений. 233

19.4.4.Декомпозиция нечетких отношений. 234

19.4.5.Транзитивное замыкание нечетких отношений. 235

19.4.6.Проекции нечетких отношений. 236

19.5.Множество недоминируемых альтернатив. 237

19.6.Нечеткие отношения предпочтения. 239

20.Игра как модель конфликтной ситуации. 241

20.1.Классификация игр. 241

20.2.Кооперативные игры. 242

20.3. Дифференциальная игра. 246

20.4. Платежная матрица. Цена игры. Принципы максимина и минимакса. 246

 20.5. Решение игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории матричных игр. 249

20.6.Сведение матричной игры к задаче линейного программирования. 250

21. Методы безусловной оптимизации 254

21.1 Классификация методов безусловной оптимизации. 254

21.2 Скорости сходимости. 254

21.3 Методы первого порядка. 255

21.4 Метод наискорейшего спуска 256

21.5 Методы сопряженных градиентов. 258

21.6 Градиентные методы. 260

21.7 Методы второго порядка. 262

21.8 Метод Ньютона и его модификации. 263

21.9 Модифицированный метод Ньютона. 264

21.10 Метод секущих. 265

21.11 Квазиньютоновские методы. Методы переменной метрики. 267

21.12 Конечно-разностная аппроксимация производных. Конечно-разностные методы. 269

21.12.1 Постановка задачи. 269

21.12.2 Общая схема. 269

21.12.3 Устойчивость схемы. 270

21.12.4 Повышение порядка аппроксимации. 271

21.12.5 О решении разностных схем. 272

21.12.6 Нелинейные задачи. 272

21.13 Методы нулевого порядка. 273

21.13.1 Основные определения 273

21.13.2 Общая характеристика методов нулевого порядка 274

21.14 Метод покоординатного спуска 275

21.15 Метод Хука—Дживса 275

21.16 Метод сопряженных направлений. 277

21.17 Методы деформируемых конфигураций. 278

21.18 Симплексные методы. 280

21.19 Комплекс-методы. 282

21.20 Решение задач многокритериальной оптимизации методами прямого поиска. 283

21.20.1 Модифицированный поиск Хука-Дживса 283

21.20.2 Методы случайного поиска 284

22. Задачи с ограничением (условная оптимизация) 285

22.1 Основные подходы к решению задач с ограничениями. Классификация задач и методов. 285

22.2 Метод проекции градиента. 286

22.3 Метод условного градиента. 289

22.4 Методы сведения задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации. Методы возможных направлений 292

22.4.1 Метод Зойтендейка 292

22.4.2 Метод возможных направлений для нелинейных ограничений-неравенств и равенств 293

22.4.3 Модификация метода возможных направлений 294

22.5 Методы штрафных функций 295

22.5.1 Методы внутренних штрафных функций 296

22.5.2 Методы внешних штрафных функций 297

22.6 Комбинированные алгоритмы штрафных функций 299

23. Стохастичесоке программирование 300

23.1 Задачи стохастического программирования. Прямые и непрямые методы. 300

23.2 Прямые методы. Стохастические квазиградиентные методы. Метод проектирования стохастических квазиградиентов. 301

23.3 Прямые методы. Метод стохастической аппроксимации 305

23.4 Прямые методы. Методы случайного поиска. Статистические методы поиска нелинейного программирования 306

23.5 Стохастические разностные методы. Методы конечных разностей в стохастическом программировании. 307

23.6 Стохастические задачи с ограничениями вероятностей природы. 309

24. Дискретное программирование 314

24.1 Методы и задачи дискретного программирования. Задачи целочисленного линейного программирования. 314

24.1.1 Задачи с неделимостями 315

24.1.2 Задача о рюкзаке. 315

24.1.3 Экстремальные комбинаторные задачи 316

24.1.4 Задача о коммивояжере. 316

24.1.5 Задача о покрытии. 317

24.1.6 Задачи на несвязных областях. 318

24.1.7 Задачи на невыпуклых областях. 319

24.1.8 Задачи с разрывными целевыми функциями 320

24.1.9 Задачи, сводящиеся к целочисленным 322

24.2 Методы отсечения Гомори. 322

24.3 Метод ветвей и границ. 326

24.4 Метод ветвей и границ для задачи целочисленного программирования 329

24.5 Задача о назначениях. 332

24.6 Венгерский алгоритм. 332

24.6.1 Венгерский метод для задачи о назначениях. Постановка задачи. 332

24.6.2 Описание алгоритма венгерского метода 333

24.6.3 Пример решения задачи о назначених венгерским алгоритмом. 335

24.7 Задачи оптимизации на сетях и графах. 337

25. Динамическое программирование 342

25.1 Метод динамического программирования для многошаговых задач принятия решений. 343

25.2 Принцип оптимальности Беллмана 344

25.3 Основное функциональное уравнение. 345

25.4 Вычислительная схема метода динамического программирования. 346

26. Общие положения о системном анализе. 350

27. Задача математического программирования. 355

27.1. Формы записи задач нечеткого математического программирования. 355

27.2. Классификация методов нелинейного математического программирования. 356

28. Линейное программирование. 358

28.1. Общие положения. 358

28.2. Геометрическая интерпретация множества решений системы линейных неравенств с 2 неизвестными. 359

28.3. Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования. 360

28.3.1. Стандартная задача ЛП. 360

28.3.2. Каноническая задача ЛП. 361

28.3.3. Общая задача ЛП. 361

28.3.4. Двойственная задача линейного программирования. 362

28.3.5. Теорема двойственности. 363

28.3.6. Теорема равновесия. 363

28.4. Решение систем линейных неравенств. Гиперплоскость и полупространство. 363

28.5. Основные теоремы линейного программирования. 364

28.6. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. 365

28.7. Условия существования и свойства оптимальных решений задачи линейного программирования. 365

28.7.1. Оптимальные решения. 365

28.7.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности решения. 366

29. Двойственность в линейном программировании. 372

29.1. Общие положения. 372

29.2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности. 374

29.3. Симметричные двойственные задачи. 380

29.4. Виды математических моделей двойственных задач. 382

29.5. Двойственный симплексный метод. 384

30. Основы выпуклого программирования. 385

30.1. Общие положения. 385

30.1.1. Основная задача выпуклого программирования. 386

30.1.2. Формальная постановка задачи выпуклого программирования. 386

30.1.3. Классические способы отыскания решения экстремальных задач. 387

30.1.4. Условие регулярности. 388

30.1.5. Функция Лагранжа. Условия оптимальности. 389

30.1.6. Теорема Куна-Таккера. 390

30.1.7. Дифференциальные условия Куна-Таккера. 390

30.1.8. Общая схема решения задачи выпуклого программирования. 391

30.2. Выпуклые множества и функции. 391

30.3. Поиск экстремума функции. 403

31. Задача нелинейного программирования при ограничениях в неравенствах. 404

31.1. Теорема Куна-Таккера. 404

31.2. Седловая точка и задача нелинейного программирования. 410

31.3. Применение теоремы Куна-Таккера   для задачи выпуклого программирования. 412

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 416

1.Основные понятия системного анализа

Развитие системных представлений характеризуется постепенным переходом от простого к сложному — от структурных понятий к методам функционирования, которые определяют эффективность систем. Соответственно этому процессу должны эволюционировать и базы данных и знаний. Они должны постоянно перерабатываться, пересортировываться и переоцениваться.

С позиций набора всеобщих характеристик системы подразделяются на:

• простые или сложные (по отношению к управлению);

• детерминистские или случайные (вероятностные);

• статические (функционирующие) или динамические (развивающиеся);

• моноцелевые или полицелевые.

Обособленный анализ развития и функционирования системы друг от друга неверен теоретически и вреден практически. Прогресс науки может состояться только при оптимальном включении в функционирование других социальных институтов (прикладной науки, производства, обучения, формирования культурных ценностей).

Рекомендуется учитывать следующие правила системного анализа:

• правило целостности: (из свойств элементов системы нельзя вывести свойства системы);

• возможность структурного и функционального описания системы;

• множественность описания системы: построение множества различных моделей, каждая из которых описывает лишь одну из сторон системы;

• взаимозависимость системы и среды;

• системность прогнозирования: взаимоувязанность и соподчиненность прогнозов объекта, фона и их элементов;

• иерархичность;

• соразмерность ресурсов на цели одного уровня иерархии.

1.1.Определения и свойства системы

Часть смысловых связей понятия "система" можно обнаружить в его противопоставлении с несколькими понятиями:

• система - беспорядочное образование;

• система - аморфность;

• система - случайная совокупность;

• система - случайность;

• система - множество из элементов, не связанных в целое.

Система тесно связана с понятиями системность, целостность, тотальность, организованность, закономерность.

Система - это целостность, определяемая некоторой организующей общностью этого целого.

Система (от греч.- целое, составленное из частей; соединение) - множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, образующих определенную целостность, единство.

По Л.А.Блюменфельду, системой можно назвать такую совокупность элементов, в которой:

1. заданы связи, существующие между этими элементами;

2. каждый элемент внутри системы является неделимым;

3. с миром вне системы она взаимодействует как целое;

4. при эволюции во времени совокупность будет считаться одной системой, если между ее элементами можно провести однозначное соответствие.

Можно добавить также такие свойства системы как:

5. состоит из иерархии подсистем более низких уровней;

6. имеет вертикальные и горизонтальные связи между внутренними элементами и внешним окружением;

7. является подсистемой систем более высокого порядка;

8. сохраняет общую структуру при изменении внешних условий и внутреннего состояния;

9. наличие входных переменных;

10. наличие выходных переменных;

11. внутренняя последовательная или параллельная переработка информации.

Наиболее общая характеристика системы состоит в описании всей совокупности величин, определяющих ее поведение.

Такое описание может иметь форму таблицы, семейства графиков или пространства состояний системы.

Существенной характеристикой системы является степень ее организованности.

Организованность (упорядоченность) системы определяется степенью ее отклонения от максимально неупорядоченного состояния системы молекул, находящейся в термодинамическом равновесии. Такое определение позволяет использовать показатели энтропии, предложенные еще в 1948 году Э.Шенноном.

Высота организации системы обеспечивается степенью разнообразия ее элементов и связей между ними, а также их множественностью, т.е. достаточной структурной и функциональной сложностью.

Системе необходима энергия извне. Она повышает свою сложность за счет роста энтропии в окружающей среде. Если же поток энергии и информации извне ослабевает, упрощается и внутренняя структура системы.

Система — объект, функционирование которого, необходимое и достаточное для достижения стоящей перед ним цели, обеспечивается (в определенных условиях среды) совокупностью составляющих его элементов, находящихся в целесообразных отношениях друг с другом.

Элемент — внутренняя исходная единица, функциональная часть системы, собственное строение которой не рассматривается, а учитываются лишь ее свойства, необходимые для построения и функционирования системы. «Элементарность» элемента состоит в том, что он есть предел членения данной системы, поскольку его внутреннее строение в данной системе игнорируется, и он выступает в ней в качестве такого явления, которое в философии характеризуют как простое. Хотя в иерархических системах элемент тоже может быть рассмотрен как система. А от части элемент отличает то, что слово «часть» указывает лишь на внутреннюю принадлежность чего-либо объекту, а «элемент» всегда обозначает функциональную единицу. Всякий элемент — часть, но не всякая часть — элемент.

Состав — полная (необходимая и достаточная) совокупность элементов системы, взятая вне ее структуры, то есть набор элементов.

Структура — отношения между элементами в системе, необходимые и достаточные для того, чтобы система достигла цели.

Функции — способы достижения цели, основанные на целесообразных свойствах системы.

Функционирование — процесс реализации целесообразных свойств системы, обеспечивающий ей достижение цели.

Цель — это то, чего система должна достигнуть на основе своего функционирования. Целью может быть определенное состояние системы или иной продукт ее функционирования. Значение цели как системообразующего фактора уже отмечалось. Подчеркнем его еще раз: объект выступает как система лишь относительно своей цели. Цель, требуя для своего достижения определенных функций, обусловливает через них состав и структуру системы. К примеру, является ли системой груда строительных материалов? Всякий абсолютный ответ был бы неверным. В отношении цели жилья — нет. А вот как баррикада, укрытие, вероятно, да. Грудой строительных материалов нельзя пользоваться как домом, даже при наличии всех необходимых элементов, по той причине, что между элементами нет нужных пространственных отношений, то есть структуры. А без структуры они представляют собой только состав — совокупность необходимых элементов.