4.4. Визначення необхідної чисельності вибірки.

Перед тим, як приступити до проведення ви­біркового спостереження, треба визначити необхідну чисельність вибірки, тобто такий обсяг вибіркової су, купності, який забезпечив би необхідну точність ре­зультатів.

Необхідна чисельність п визначається на основі формул граничної помилки. Формули для випадкового та механічного відборів наведені в табл. 4.4.

Таблиця 4.4

Визначення обсягу вибіркової сукупності

Схема выдбору	Обсяг вибірки
	При визначенні середньої	Пи визначенні частки
Повторний
Безповторний

Приклад 4.5

У районі є 2500 корів. Треба визначити необхідний обсяг випадкової вибірки для повторної та безповтор-ної схеми при умові, що гранична помилка обчис­лення середнього річного надою не буде перевищувати 20 кг при імовірності 0,954 та = 300.

Для повторного відбору

голів

Для безповторного відбору

голови

Приклад 4.6

Визначимо обсяг вибірки при обчисленні частки. Встановлено, що помилка частки з імовірністю 0,954 не повинна перевищувати 3 % при питомій вазі поро­дистих корів у 80 %.

Для повторного відбору

корів

Для безповторного відбору:

корови

При визначенні необхідного обсягу вибірки і p(W) генеральної та вибіркової сукупності невідомі. Тому ці значення встановлюють приблизно на підставі аналогічних або пробних досліджень. Якщо ознака альтернативна, то вважають, що W = 0,5, W(l—W) = 0,25.

4.5. Особливості малої вибірки.

Малою вибіркою прийнято вважати вибірку, об'єм якої варіює в межах від 5 до 30 одиниць. Мала вибірка являється єдиним методом дослідження в тих випадках, коли організація суцільного або великого вибіркового спостережень неможлива. Переважно ви­бірковим методом користуються у випадку дослід­ження якості промислової продукції, при встановленні норм виробітку. Однак, слід відмітити, що необхідно бути обережним при використанні малої вибірки.

Як відомо з теорії вибіркового спостереження, ре­презентативність вибірки в значній мірі залежить від її обсягу. Випадкові помилки вибірки при достатньо ве­ликому обсязі розподіляються нормально. При цьому Допускається умова рівності генеральної та вибіркової Дисперсії.

За умови малої вибірки цим припущенням кори­стуватись не можна, її особливість якраз і полягає в тому, що випадкові помилки малої вибірки не підчиняються закону нормального розподілу. Тому для оцінки результатів малої вибірки і можливих границь її випадкової помилки користуються відношення^ Стьюдента:

де — стандартна помилка малої вибірки, яка обчис­люється за формулою

Як бачимо з цієї формули, в знаменнику береться не п, як у звичайній вибірці, а п-1, що являється принципово важливим у випадку для розрахунку помилки малої вибірки. Гранична ж помилка малої вибірки обчислюється стандартним способом за формулою

де t — це відношення Стьюдента.

Величина t підпорядковується закону розподілу Стьюдента (t вірне тільки для виборок, які взяті із генеральної сукупності з нормальним розподілом ознак). Для визначення ймовірності інтенсивності P(t) користуються спеціальними таблицями, в яких роз­раховані P(t) для даних значень t і k=n-1 (k - число ступенів вільності).

Наведемо приклад у вигляді табл. 4.5.

Таблиця 4.5

Імовірність P(t) розподілу t (P_k(t) • 1000)

t	k
	4	5	6	7	8	9	10	15	∞
2.0	884	898	908	914	919	923	927	936	954
2.5	933	946	953	959	963	966	969	976	988
3.0	960	970	976	980	983	985	987	991	997

За цією таблицею визначається двосторонній критерій, тобто імовірність того, що фактичне зна­чення t через випадкові причини не буде більшим від табличного за абсолютною величиною.

Приклад 4.7 [9]

На електроламповому заводі з метою перевірки якості ламп була організована мала вибірка (табл. 4.6). У випадковому безповторному відборі було відібрано 10 ламп.

Необхідно визначити граничну помилку вибірки і побудувати довірчий інтервал для середньої.

Таблиця 4.6

Розрахунок граничної помилки вибірки

Тривалість горіння, год (xi)	Число ламп, шт. (fi)
1480	2	2960	26	676	1352
1500	4	6000	6	36	144
1520	3	4560	14	196	588
1540	1	1540	34	1156	1156
Разом	10	15060	х	х	3240

Вибіркова середня дорівнює

год.,

вибіркова дисперсія:

стандартна помилка:

год.

В умовах малої вибірки при k = п-1 =9 и t= 2,5 з імовірністю P_k(t), що дорівнює 0,966, гранична помилка за абсолютною величиною не перевищить

Λ_m= 2,5*6 = 15 год.

Імовірність того, що це твердження невірне і по­милка може вийти за встановлені межі 15 год., до­рівнює: 1 - 0,966 = 0,034.

На основі розрахованих характеристик будуємо до­вірчий інтервал для генеральної середньої:

1491 1521.

Питання для самоконтролю.

1. Для чого при проведенні вибіркового спостереження визна- 1 чається необхідний обсяг вибірки?

2. Чим визначається гранична помилка вибірки?

3. Що являє собою механічний спосіб відбору? Наведіть при- ' клад.

4. Які існують схеми відбору, умови їх застосування?

5. В чому полягають особливості типового відбору? Наведіть приклад.

6. Як перевірити репрезентативність вибіркової сукупності?

7. Як зміниться величина випадкової помилки, якщо обсяг ви­бірки збільшити на 21%?

8. Чи зміниться середня помилка вибірки, якщо замість повтор­ного відбору провести безповторний відбір?

9. За вибірковими даними питома вага бракованої продукції на першому підприємстві становить 3%, на другому — 5%. Для якого з них помилка вибірки буде більша і на скільки, якшо обсяг вибірки був однаковим?

10. Середня помилка вибірки для частки бракованої продукції становить 2%, питома вага браку у вибірці — 3%. З якою імовірністю можна стверджувати, що частка браку в гене­ральній сукупності не буде перевищувати 7%?

11. На ділянці лісу площею 1000 га необхідно визначити загаль­ний запас деревини (в куб. м). Випробувана площа становить 0,1 га. В результаті обстеження виявлено, що вихід деревини з 0,1 га становить 10 м³. Яким повинен бути обсяг вибірки, щоб помилка не перевищувала 4 м³ (р = 0,954)?

12. На поштовому відділенні міста планується проведення ви­біркового випадкового спостереження для визначення частки листів, адресованих за межі України. Результати необхідно оцінити з точністю !%(/> = 0,954). Скільки листів треба відібрати?

13. На підприємстві налічується 100 бригад однакової чисель­ності. Безповторно відібрано 36 бригад. За результатами ви­бірки середній стаж робітника становить 7 років. Міжсерійна дисперсія дорівнює 9 років. Визначити граничну помилку ви­бірки (р = 0,954).

14. В чому полягає особливість застосування малої вибірки?

15. Яким правилом користуються при визначенні граничної по­милки малої вибірки?