Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления более удобны для выполнения вычислений.

Для представления чисел в ЭВМ используется двоичная система, так как устройства, имеющие два устойчивых состояния наиболее надёжны и просты в реализации. Назвать причину, по которой повсеместное распространение получила десятичная система счисления, вряд ли удастся. Можно только предположить, что с древних времён люди считали на пальцах, а пальцев у людей по десять на руках и ногах.

Преимущества двоичной системы перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями;

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических операций;

• двоичная арифметика намного проще десятичной. Так, двоичная система счисления имеет самую короткую таблицу умножения: 11=1.

Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. В среднем длина двоичного числа в 3,3 раза превышает длину десятичного числа.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Для записи кодов, машинных команд целесообразно использовать восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Так как 8=2³, 16=2⁴, то числа в этих системах имеют в 3 и 4 раза меньше разрядов по сравнению с двоичной системой и при этом воспринимаются человеком почти так же легко, как десятичные. Кроме того, перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную (и наоборот) выполняется очень просто.

Любое число в позиционной системе счисления записывается в виде последовательности цифр, разделённых запятой (или точкой) на целую и дробную части.

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями:

двоичная: 0, 1

восьмеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

десятичная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

шестнадцатеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую основан на разложении числа по степеням основания системы счисления. Например, для перевода числа в восьмеричную систему счисления его надо разложить по степеням 8, а для перевода в двоичную систему – по степеням 2:

85₁₀ = 18² + 28¹ + 58⁰ = 125₈

327₁₀ = 58² + 08¹ + 78⁰ = 507₈

27₁₀ = 12⁴ + 12³ + 02² + 02¹ + 12⁰ = 11001₂

85₁₀ = 12⁶ + 02⁵ + 12⁴ + 02³ + 12² + 02¹ + 12⁰ = 1010101₂

9,25₁₀ = 12³ + 02² + 02¹ + 12⁰ + 02^-1 + 12^-2 = 1001,01₂

Чтобы выполнить перевод необходимо:

• найти самую высокую степень основания системы счисления, которая присутствует в числе. Например, для числа 327 это 2, так как 83=512, 512>327;

• выписать все степени основания системы счисления от самой высокой до нулевой. В примере 85₁₀ = 8² + 8¹ + 8⁰;

• вычислить коэффициенты при степенях:

• разделить число на основание в самой высокой степени и найти остаток. Для числа 327 получим: 327/64 = 5, остаток равен 327-645 = 327-320 = 7;

• повторять предыдущий пункт для остатка до тех пор, пока он не станет равным нулю. Для остатка 7 самая высокая степень 8 равна 0 (8⁰=1): 7/1 = 7, 7-7 = 0;

• выписать все коэффициенты при степенях основания системы счисления. Нулевые коэффициенты опускать нельзя! В примере получим 507.

Итак, запись числа в любой позиционной системе счисления – это представление числа в виде суммы степеней основания системы счисления с соответствующими коэффициентами. Именно это основополагающее утверждение используется при переводе чисел из одной системы счисления в другую.

Nq = K_mq^m + K_m-1q^m-1 + K_m-2q^m-2 + … +K₀q⁰ + K_-1q^-1 + K_-2q^-2 +…

Для упрощения расчётов были разработаны правила, следуя которым можно перевести число из одной системы в другую, действуя чисто формально. Алгоритм перевода целых чисел следующий:

1. разделить число на основание системы счисления и зафиксировать остаток;

2. частное, не равное нулю, разделить на основание системы счисления и зафиксировать остаток;

3. повторять пункт 2 до тех пор, пока частное не станет равным нулю;

4. остатки записать слева направо, начиная с самого нижнего (когда частное равно нулю).

Пример 1.12. Перевести число 85 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

10  8					10  2									10  16
85	8				85	2								85	16
5	10	8			1	42	2							5	5	16
	2	1	8			0	21	2							5	0
		1	0				1	10	2
								0	5	2
									1	2	2
										0	1	2
											1	0
8510= 1258					8510= 10101012									8510= 5516

Для перевода правильной десятичной дроби необходимо:

1. умножить дробную часть на основание системы счисления;

2. умножить дробную часть полученного произведения на основание системы счисления;

3. повторять пункт 2 до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность;

4. сформировать дробь, записав целые части полученных произведений в порядке их появления.

Пример 1.13. Перевести правильную дробь 0,25 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

10  2				10  8				10  16
	0,	25			0,	25			0,	25
		2				8				16
	0	50			2	00			4	00
		2
	1	00
0,2510 = 0,012				0,2510 = 0,28				0,2510 = 0,416

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей.

Перевод в десятичную систему числа, записанного в любой позиционной системе счисления, сводится к вычислению значения многочлена, представляющего собой разложение числа по степеням основания системы счисления.