1.4 Теоретичні відомості
Типові впливи та частотні характеристики САК
Поведінка систем автоматичного керування (САК) багато в чому залежить від величини та характеру впливу на систему. Таких впливів (сигналів) існує дуже багато. Це можуть бути аналогові, дискретні сигнали. Причому закон їх зміни може бути відомим наперед (детерміновані сигнали) або вони можуть розглядатися як випадкові функції часу (випадкові сигнали).
Однак, розглядаючи конкретні умови роботи САК, можна вибрати такий вплив, який для даної системи є найбільш типовим. Вибравши такий вплив і вивчивши викликаний ним перехідний процес, можна зробити висновок про динамічні властивості системи.
При аналізі та синтезі САК використовують кілька типових (тестових) сигналів: одиничний ступінчастий вплив, одиничний імпульс, гармонічний вплив.
Одиничний ступінчатий вплив. Цей вплив має вигляд одиничного стрибка. Його називають також одиничною функцією 1(t), яка набуває таких значень:
(1.1)
Реакція системи на одиничний ступінчатий вплив при нульових початкових умовах називається перехідною функцією h(t) системи; графік цієї функції називається перехідною характеристикою. За допомогою цієї характеристики можна судити про стійкість системи, її швидкодію, точність.
Якщо відоме рівняння, що описує САК, перехідну функцію h(t) можна отримати, розв’язавши це рівняння за нульових початкових умов і взявши за вхідний вплив x(t) = 1(t).
Одиничний імпульс (-функція). Цей вплив являє собою дуже вузький імпульс, що обмежує одиничну площу. Тобто -функція задовольняє умови:
(1.2)
(1.3)
За вплив одиничного імпульсу може бути взятий вплив імпульсу будь-якої форми і малої довжини, порівняно з очікуваним часом перехідного процесу.
Реакція системи на одиничний імпульсний вплив при нульових початкових умовах називається імпульсною перехідною функцією w(t) системи. Її називають також ваговою функцією. Графік цієї функції називається імпульсною перехідною характеристикою.
Перехідна та імпульсна перехідна характеристики називаються часовими характеристиками. Між ними існує зв’язок:
(1.4)
Аналогічно пов’язані між собою одинична функція та одиничний імпульс:
(1.5)
Гармонічний вплив. Частотні характеристики динамічних ланок визначаються при типовому впливі у вигляді гармонічної функції:
, (1.6)
де
– амплітуда
коливань;
– колова частота.
Якщо до входу ланки чи системи прикласти вплив типу (1.6), то на виході виникає реакція на цей вплив, що в усталеному режимі являє собою також гармонічне коливання:
. (1.7)
Періодичний вхідний вплив за перетворенням Фур’є може бути записаний у показовій формі:
(1.8)
Аналогічно для вихідної функції:
(1.9)
Відношення
цих величин є частотною або комплексною
передавальною функцією (КПФ) ланки чи
системи від змінної
:
(1.10)
Її, як і будь-яке комплексне число, можна записати в алгебраїчній та показовій формах:
, (1.11)
де
– дійсна частина КПФ, її графік – ДЧХ
(дійсна частотна характеристика;
– уявна
частина КПФ, її графік – УЧХ (уявна
частотна характеристика;
– модуль
КПФ – амплітудно-частотна
функція,
(1.12)
Графік цієї функції називають амплітудно-частотною характеристикою – АЧХ.
– аргумент
КПФ – фазочастотна
функція,
(1.13)
Графік цієї функції називається фазочастотною характеристикою – ФЧХ.
Саму
комплексну передавальну функцію
називають також амплітудно-фазовою
частотною функцією,
а її графік на комплексній площині –
амплітудно-фазовою
частотною характеристикою – АФЧХ:
це
крива,
яку описує кінець вектора на комплексній
площині при зміні частоти
від 0 до
,
причому довжина вектора дорівнює
,
а аргумент (кут між вектором і дійсною
додатною піввіссю) дорівнює
.
Окрім перелічених частотних характеристик (ДЧХ, УЧХ, АЧХ, ФЧХ, АФЧХ), при аналізі та синтезі САК широко застосовуються також логарифмічні частотні характеристики – ЛЧХ:
ЛАЧХ – логарифмічна амплітудно-частотна характеристика,
ЛФЧХ – логарифмічна фазочастотна характеристика.
ЛЧХ – це частотні характеристики системи, побудовані в іншій системі координат:
– по
осі абсцис відкладають частоту в
логарифмічному масштабі: на поділці,
що відповідає значенню
,
пишуть значення
;
масштабною одиницею слугує декада
– інтервал,
на якому частота змінюється в десять
разів;
– по
осі ординат значення
відкладають у децибелах (дБ) – ЛАЧХ, а
значення
– у градусах чи радіанах – ЛФЧХ.
Логарифмічною амплітудно-частотною характеристикою САК називають АЧХ цієї системи, що виражена в децибелах та побудована в логарифмічному масштабі частот.
ЛАЧХ та АЧХ пов’язані співвідношенням:
. (1.14)
Логарифмічною
фазовою частотною характеристикою САК
називають залежність фази
,
вираженої в градусах чи радіанах, від
частоти в логарифмічному масштабі.
ЛЧХ мають переваги перед АЧХ та ФЧХ – вони більш наочні та прості в побудові.
Перехідна характеристика САК може бути побудована за допомогою Simulink. Для цього необхідно побудувати модель системи, до входу підключити блок Constant, значення параметра прирівняти 1, а до виходу – блок осцилографа Scope.
Побудова частотних характеристик у пакеті програм MATLAB здійснюється з використанням функцій Control and Estimation Tools Manager. Для отримання цих характеристик необхідно правою кнопкою миші клацнути на лінії, де має бути точка входу та вибрати з випаданого меню Linearization Points → Input Point, а там де точка виходу Output Point (рис. 1.4).
Рисунок 1.4 – Меню для установки Input Point та Output Point
Після установки точок входу та виходу необхідно запустити Linear Analysis (рис. 1.5). Для цього у меню інструментів Tools вибираємо Control Design → Linear Analysis.
Рисунок 1.5 – Запуск Linear Analysis
Після запуску Linear Analysis з’явиться вікно Control and Estimation Tools Manager (рис. 1.6), у якому зазначені вже встановлені точки входу та виходу. Для отримання графіків перехідних характеристик САК необхідно натиснути кнопку Linearize Model (рис. 1.6). Після натискання Linearize Model відкриється вікно утиліти LTIViewer з графіком характеристики системи, за замовчанням одразу вже отримуємо графік перехідної характеристики h(t) (рис. 1.7). Для отримання декількох графіків одразу для перегляду необхідно у меню графіка Edit вибрати Plot configurations (рис. 1.8–1.9) та вибрати необхідні варіанти.
Рисунок 1.6 – Вікно Control and Estimation Tools Manager
Рисунок 1.7 – Вікно LTIViewer
Вибір конфігурації утиліти здійснюється через меню у заголовку вікна та меню, що виводиться на екран при натисканні правої кнопки миші.
Меню File містить команди роботи з моделями:
– New Viewer – відкрити нове вікно LTIViewer;
– Import... – завантаження нової моделі в LTIViewer. На екран виводиться список моделей, доступних для завантаження. Модель, що завантажується, необхідно виділити і натиснути кнопку Apply, потім ОК;
– Export... – запис завантаженої моделі на диск чи експорт у робочий простір MATLAB (Workspace);
– Page Setup… – настройка вигляду та розміру сторінки для друку тощо;
– Print... – друк графіків;
– Print to figure... – друк в інше вікно. Після виконання цього пункту відкривається нове вікно, до якого передається графік;
– Close – закрити вікно утиліти LTIViewer.
Меню Edit містить команди настроювання утиліти LTIViewer:
– Plot configurations… – настроювання вікна перегляду графіків (рис. 1.8–1.9).
Рисунок 1.8 – Вікно настроювання підменю Plot configurations
При виконанні даної команди на екран виводиться вікно, у якому можна задати розбивку вікна перегляду LTIViewer на частини та задати типи характеристик, які будуть виводитися у кожній частині вікна.
– Refresh Systems – оновити параметри моделей;
– Delete Systems – видалити графіки моделей;
– Line Styles – установити стилі ліній графіків;
– Viewer preferences – уподобання поглядання графіків.
Рисунок 1.9 – Вигляд утиліти LTIViewer після настроювання підменю Plot configurations
Побудова необхідної характеристики й аналіз параметрів графіка здійснюється в такому порядку. Для вибору характеристики необхідно установити курсор у вікно LTIView, натиснути праву кнопку миші. На екран виводиться меню, що містить команди:
– Plot type – виведена характеристика;
– Systems – системи, для яких будуються характеристики;
– Characteristics – відображення параметрів графіка (рис. 1.10);
– Grid – виведення сітки на графік;
– Properties – настроювання вигляду графіків, шрифтів тощо;
Рисунок 1.10 – Меню Characteristics для перехідної характеристики h(t)
Розглянемо характеристики, які можна побудувати за допомогою утиліти LTIViewer.
1. Step – перехідна характеристика h(t).
Параметри графіка (задаються в меню Characteristics):
Peak Response – максимальне значення перехідного процесу;
Setting Time – час регулювання – інтервал часу, по закінченні якого відхилення вихідної координати не перевищує ±% від усталеного значення. Значення задається в меню Tools-Response Preferences-Calculate setting time for і за замовчанням дорівнює 2 %;
Rise Time – час наростання – інтервал часу, протягом якого перехідний процес від значення р % уперше досягає значення у % від усталеного значення. Значення р і у задаються в меню Tools-Response Preferences-Calculate rise time from _ to _ і за замовчанням дорівнюють 10 % і 90 % відповідно;
Steady State – усталене значення перехідного процесу.
Числові значення параметрів графіка можна отримати, указавши курсором відповідну точку на графіку і натиснувши ліву кнопку миші.
2. Impulse – імпульсна перехідна характеристика w(t):
– Peak Response – максимальне значення імпульсної характеристики;
– Setting Time – час установлення – інтервал часу, протягом якого закінчується перехідної процес.
3. Bode – логарифмічні амплітудна і фазова частотні характеристики:
– Gain/Phase Margin – запаси стійкості за амплітудою й за фазою. Відображаються точки, у яких логарифмічна частотна характеристика дорівнює «0» дБ і фазова характеристика дорівнює «–180°»;
– Peak Response – максимальне значення логарифмічної частотної характеристики.
4. Nyquist – амплітудно-фазова частотна характеристика (крива Найквіста).
– Gain/Phase Margin – запаси стійкості.
Типові динамічні ланки