3. Дивергенция вектора

Вернемся к рассмотрению течения жидкости и поля вектора скорости частиц жидкости. Представим в окрестности некоторой точки воображаемую замкнутую поверхность , ограничивающую объем . Если внутри в объеме жидкость не исчезает и не появляется, то линии вектора (они же линии тока жидкости) непрерывны, и .

Если , то это означает, что внутри есть источники, мощность которых равна (стоки рассматриваем как источники с отрицательной мощностью). Под мощностью источника подразумевается объем жидкости, выбрасываемый им в единицу времени. Отношение есть средняя удельная мощность источников в .

Поток вектора через поверхность и средняя удельная мощность источников в объеме интегрально, по объему , характеризует характер изменения поля и поведение вектора скорости частиц. Однако очень часто возникает необходимость более детального описания поведения поля вектора скорости, например интенсивности возникновения новых линий вектора в зависимости от координат. С этой целью естественно уменьшить мысленно объем . По определению предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем в окрестности заданной точки поля, к величине объема , при его стремлении к нулю, называют дивергенцией соответствующего вектора:

(13.12)

(можно говорить о пределе удельной мощности источников вектора).

Соответственно, по определению, для произвольного вектора дивергенцией называется величина

(13.13)

Геометрическая интерпретация потока вектора, как количества пересечений линий вектора с поверхностью, позволяет истолковать дивергенцию вектора , как функцию, равную плотности точек, в которых начинаются линии . В точках, где линии вектора заканчиваются дивергенция вектора отрицательна.

По смыслу характеризует распределение в пространстве источников силовых линий и определяет плотность мощности источников вектора. Произведение дает мощность источников в объеме .

Такое определение дивергенции не зависит от выбора системы координат, однако, неудобно для вычислений.

4. Выражение для в декартовой системе координат

В озьмем в окрестности точки бесконечно малый объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат величиной соответственно. Очевидно, что .

Найдем поток через поверхность, ограничивающую . Для смотрящей на нас грани параллелепипеда единичная внешняя нормаль совпадает с направлением оси . Поэтому проекция вектора на направление нормали к этой грани

, (13.14)

где проекция вектора на ось .

Для противоположной грани:

, (13.15)

Поскольку орт нормали направлен навстречу оси . Тогда суммарный поток вектора через грани, перпендикулярные оси :

. (13.16)

Изменение проекции на ось можно найти в виде:

. (13.17)

Поэтому поток через две грани

. (13.18)

Рассуждая аналогичным образом, для граней перпендикулярных двум другим осям системы координат, можно найти значения потоков:

и . (13.19)

Тогда поток через всю поверхность параллелепипеда

. (13.20)

Поэтому дивергенцию вектора в декартовой системе координат можно найти, воспользовавшись соотношением:

. (13.21)