1. Поток вектора

Понятие векторного анализа наиболее наглядны при рассмотрении поля вектора скорости текущей жидкости. Собственно они и возникли в процессе развития гидродинамики, и этим обусловлена терминология, используемая в векторном анализе.

Рассмотрим течение идеальной жидкости, т.е. жидкости несжимаемой, молекулы которой взаимодействуют абсолютно упруго.

По определению, объем жидкости, протекающий в единицу времени через некоторую воображаемую поверхность называется потоком жидкости через S. Пусть скорость направленного движения частиц жидкости, пересекающих поверхность , равна . Выделим мысленно на поверхности элемент и будем считать, что он настолько мал, что в его пределах скорость направленного движения частиц жидкости одинакова. Ориентацию в пространстве этого элемента зададим ортом нормали к нему . За время через пройдет жидкость, заключенная в объеме

(13.02)

С ледовательно, по определению потока, элементарный поток через :

(13.03)

Устремив размеры элемента поверхности к нулю ( → 0), получим соотношение:

(13.04)

Формула (13.04) в соответствии с определением скалярного произведения векторов эквивалентна следующим:

. (13.06)

Тогда поток жидкости через всю поверхность должен определяться соотношением:

(13.07)

Распространив этот подход на все векторные поля, можем сформулировать определение потока произвольного вектора через поверхность :

(13.08)

Основные свойства потока вектора: скалярная алгебраическая величина, знак которой зависит от выбора направления нормали к .

В случае замкнутых поверхностей всегда используется внешняя нормаль.

2. Геометрическая интерпретация потока

Поле всякого вектора можно задать с помощью линий, аналогичных силовым линиям . Представление поля с помощью линий вектора является весьма неточным, но очень полезно для наглядного представления о поле. В рамках этого представления потоку вектора можно придать очень наглядную геометрическую интерпретацию. При этом будем предполагать, что количество линий вектора достаточно для представления модуля вектора с заданной точностью.

Д ля плоского элемента поверхности , нормаль к которому образует угол c вектором , число пересечений линий вектора с равно произведению густоты линий (т.е. модуля вектора) на площадь площадки, расположенной перпендикулярно силовым линиям в данной точке пространства. Очевидно, что количество линий, пересекающих и одинаково, а площади связаны соотношением:

. (13.09)

Поэтому

(13.10)

Поток вектора выражается таким же соотношением. Поэтому можно утверждать, что поток вектора через некоторую поверхность численно равен количеству пересечений линий вектора с этой поверхностью:

(13.11)

Необходимо, однако, учесть, что поток – величина алгебраическая. Если на рисунке 13.2 направление линий вектора изменить на противоположное, то поток станет отрицательным. Для совпадения знаков и пересечения с острым углом считают положительными, а с тупым – отрицательными.

Большое значение имеет рассмотрение потока вектора через замкнутую поверхность. Для замкнутых поверхностей положительной считается внешняя нормаль и с «+» берутся пересечения, связанные с выходом наружу линий вектора. Пересечения при входе внутрь берутся с «–».

О братим внимание на то, что если линии вектора непрерывны внутри поверхности, то каждая линия пересекает поверхность четное число раз: половину с «+», половину с «–» и, соответственно поток через поверхность оказывается равным нулю.

Если же линии обрываются или начинаются внутри S, то поток через S

З

Рисунок 13.3

абегая вперед, представим, что мы рассматриваем линии вектора напряженности электрического поля. Очевидно, что линии будут начинаться внутри поверхности в том случае, если поверхность ограничивает положительный заряд. А если отрицательный – то линии будут заканчиваться внутри поверхности. Если внутри поверхности есть заряды обоих знаков, то количество пересечений, а значит и поток вектора напряженности электрического поля через поверхность будут связаны с величиной и знаком преобладающего заряда внутри неё.