- •Тема 1.
- •§1. Делимость целых чисел. Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.
- •§2. Построение комплексных чисел.
- •Теорема 2. Справедливы следующие соотношения:
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Замечание. Тригонометрическая форма комплексного числа хорошо приспособлена для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень.
- •§4. Извлечение корня из комплексного числа.
- •§ 5. Корни из единицы.
- •Теорема 1.
- •Всегда ли есть первообразный корень?
- •§6. Числовое поле.
- •Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно. Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит q (множество рациональных чисел).
- •Тема 2. Матрицы и определители.
- •§1. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц и их свойства.
- •Умножение матрицы на число и его свойства.
- •§2. Умножение матриц.
- •§3. Перестановки.
- •§4. Подстановки.
- •§5. Определители и их свойства.
- •Свойства определителей.
- •§6. Миноры и их алгебраические дополнения.
- •§7. Определитель произведения квадратных матриц.
- •§8. Обратная матрица.
- •§9. Системы линейных уравнений.
- •Тема 3. Многочлены от одной переменной.
- •§1. Многочлены. Сложение и умножение многочленов.
- •Сложение многочленов:
- •§2.Деление многочленов.
- •Алгоритм Евклида: Пусть f(X) и g(X) — два многочлена над полем р.
- •§ 3. Наибольший общий делитель многочленов (нод)
- •Теорема 1. ( о существовании нод)
- •Наибольший общий делитель ненулевого набора многочленов представляется в виде: ,где .
- •Теорема 2. Нод определен однозначно.
- •Теорема 3 (об отыскании нод для двух многочленов).
- •Теорема 5 (критерий взаимной простоты).
- •§ 4. Наименьшее общее кратное многочленов (нок).
- •§ 5. Разложение многочленов на
- •§6 Корни многочлена.
- •Следствие. А является корнем f(X) тогда и только тогда,когда (X-а) делит f(X).
- •§7. Основная теорема алгебры комплексных чисел (Гаусса).
- •§8. Формулы Виета. Кратные корни.
- •Тема 4. Группа.Кольцо. Поле.
- •§1. Бинарная агебраическая операция.
- •Примеры.
- •Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):
- •Симметричный для X обозначим через X'.
- •§2 Определение группы. Простейшие свойства групп. Определение1. Пусть г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:
- •Важные примеры групп
- •Простейшие свойства групп
- •§3 Подгруппа
- •§4 Кольцо.
- •§5. Поле
- •Доказательство.
- •Cвойства характеристики
Бондаренко А.А.
Краткий конспект лекций “Алгебра и теория чисел”
(отделение математической электроники,
отделение механики)
34 ч./34 ч.
Литература.
-
Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и математическая геометрия. Ч.I.,Мн.,1984, 2 изд.,Мн.,2001.
-
Кострикин А.И. Введение в алгебру.М.,1977.
-
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 10 изд.,М.,1971.
Сборники задач.
-
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре.М.,1977.
-
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.М.,1978.
-
Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии.Мн.,1989. 2 изд.Мн.,1999 (под редакцией А.С.Феденко).
Тема 1.
Развитие понятия числа.
Комплексные числа.
Число — основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного исторического развития. Возникновение и формирование этого понятия происходило вместе с зарождением и развитием математики. Практическая деятельность человека, с одной стороны, и внутренние потребности математики, с другой, определили развитие понятия числа.
Потребность счета предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Известно много разных систем счисления (уже в Древнем Египте таких систем было несколько). Шаг за шагом отодвигали границу счета, возникло представление о неограниченной продолжимости натурального ряда. Этим представлением отчетливо владели древние греки. «Простых существует больше всякого предложенного их числа» – гласит одна из теорем Евклида. Тем не менее еще Архимеду пришлось убеждать современников, что можно указать число, большее чем «число песчинок в мире». Для измерения величин требовались дробные числа (были известны уже в Древнем Египте и Вавилоне).
Дальнейшее расширение понятия числа происходило главным образом в связи с потребностями самой математики. Отрицательные числа впервые появились в Древнем Китае. Диафант (III век) свободно оперирует с отрицательным числом, они постоянно встречаются во многих задачах его «Арифметики». Однако и в 16 и в 17 вв. многие европейские математики не признавали отрицательных чисел, и если они встречались в их вычислениях, то они называли их ложными, невозможными.
Развитие алгебры и техники вычислений, в связи с потребностями астрономии, привело арабских математиков к расширению понятия числа (появлению действительного числа)… И, наконец, И.Ньютон во «Всеобщей арифметике» (1707) дал определение числа: «…Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей, дробное – кратное долей единицы, иррациональное число не соизмеримо с единицей». Мнимые числа впервые появились в труде Дж.Кардано «Великое искусство» (1545) при решении системы уравнений
В начале 19 в. математиков перестали удовлетворять доказательства, основанные на наглядности. В результате работ Дж.Пеано (1891), К.Вейерштрасса (1878) и Г.Грассмана (1861) была построена аксиоматическая теория натуральных чисел. У.Гамильтон (1837) построил теорию комплексных чисел, исходя из пар действительных чисел; К.Вейерштрасс — теорию целых чисел как пар натуральных; Ж.Таннери (1894) — теорию рациональных чисел как пар целых чисел; теория действительных чисел обоснована в работах Г.Кантора и Ш.Мере, несколько другая конструкция у Р.Дедекинда. На протяжении всего 19 в. и до начала 20 в. в математике происходили глубокие изменения, постепенно складывается аксиоматический метод построения математики на теоретико-множественной основе.
Так под системой натуральных чисел обычно понимают алгебраическую систему с двумя алгебраическими операциями (+) и (•) и выделенным элементом (1), удовлетворяющим следующим аксиомам:
1) aN, a+1a;
2) ассоциативность сложения;
3) коммутативность сложения;
4) a, b, cN из равенства a+c=b+ca=b – сократимость сложения;
5) 1 – нейтральный элемент при умножении, т.е. aN a1=a;
6) ассоциативность умножения;
7) дистрибутивность умножения относительно сложения;
8) аксиома индукции: если MN содержит 1 и вместе с элементом a элемент a+1, то M=N.
Систему целых чисел Z определяют как минимальное кольцо, содержащее N; Q — как минимальное поле, содержащее Z; C — минимальное поле, содержащее R с элементом i, что i2+1=0, R — особое построение.
Обзор по истории развития понятия числа можно найти в “Математической энциклопедии”, том 5, М.1985 г.
Обозначения:
N – натуральные числа,
Z – целые числа,
Q – рациональные числа,
R – вещественные числа,
C – комплексные числа.