Закон Гука при осевом растяжении.
Если
рассматривать только упругие деформации
бруса, т.е. такие небольшие удлинения,
которые исчезают после прекращения
действия нагрузок, то для них опытным
путем можно установить зависимость
между величиной нагрузки и соответствующим
ей удлинением. Из опыта получается, что
при увеличении растягивающей силы
удлинение растет прямо пропорционально
силе, иначе говоря, чем
больше сила, тем больше и удлинение.
Вместо всей силы удобно брать силу,
приходящуюся на единицу площади, т.е.
напряжение, а вместо удлинения всего
бруса брать удлинение, приходящееся на
единицу длины, т.е. относительное
удлинение, и тогда указанная выше
зависимость может быть выражена так:
нормальное
напряжение прямо пропорционально
относительному удлинению. Эта
зависимость была сформулирована
английским ученым Робертом Гуком во
второй половине VII в. и носит название
закона
Гука.
Зависимость между напряжением и
относительным удлинением можно выразить
формулой
где E
–
коэффициент пропорциональности,
зависящий от упругих свойств материала.
Величина Е называется модулем упругости при растяжении (модулем Юнга). Она характеризует собой способность материала сопротивляться деформации растяжения.
Из
формулы (2.3) можно определить размерность
Е.
Так как
–
величина
отвлеченная, размерность Е
совпадает
с размерностью
и
выражается в системе СИ в Н/м2 или Мн/м2.
Эти величины называются соответственно
Паскалем (Па) и мегапаскалем (МПа).
Положив = 1, а это соответствует увеличению первоначальной величины бруса вдвое, выявляем физический смысл модуля Е как напряжения, при котором первоначальная длина увеличивается вдвое.
Числовые
значения модуля Е
для
различных материалов определяются
лабораторным путем. Для стали Е
=
2,1
105МПа,
для дерева
Е =1 104МПа.
Напряжения и деформации при растяжении.
При растяжении-сжатии стержня с постоянными поперечными размерами в любом поперечном сечении возникают нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и равные
o = N/A,где N - продольная сила в сечении;А -площадь поперечного сечения.
Эта формула справедлива только для поперечных сечений, отстоящих от места приложения нагрузки на расстоянии не меньшем поперечного размера стержня (принцип Сен-Венана).
Вблизи места приложения нагрузки напряжения распределяются
неравномерно.
В случае однородного стержня, растянутого или сжатого силами, приложенными на концах, напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т.е. одинаковы для всех точек объема стержня
Такое напряженное состояние в сопромате называется однородным. Продольную деформацию стержня характеризуют следующие величины (рис. 5).
Абсолютная продольная деформация (удлинение при растяжении и укорочении при сжатии) ^ l = l1-l
где 1 -первоначальная длина стержня;
l1 - конечная длина.
Относительная продольная деформация (относительное удлинение). e = ^ l / l
Поперечную деформацию стержня в сопротивление материалов характеризуют следующие величины:
Абсолютная поперечная деформация ^b = b – b1,
где b -первоначальный поперечный размер,
b1 - поперечный размер после деформации
Относительная поперечная деформация e 1 = ^b / b
При растяжении продольную деформацию можно считать положительной (е > 0), а поперечную отрицательной (е 1 < 0).
При сжатии, наоборот e < 0, е 1 > 0.
Абсолютная величина отношения e1 к е называется коэффициентом Пуассона,
M = [e1/e]
Коэффициент Пуассона M (мю) - величина безразмерная и его значение
для различных материалов колеблется в пределах от 0 до 0,5. Объемная деформация характеризуется относительным изменением объема
ev = ^V / V,где ^V - абсолютное изменение объема;V - Первоначальный объем стержня.
Закон Гука о = e Е,
где Е - коэффициент пропорциональности, называемый модулем продольной упругости, который имеет размерность Па, кПа, мПа.
Закон Гука справедлив, пока напряжения не превосходят определенной для каждого материала величины, называемой пределом пропорциональности.
Абсолютное удлинение стержня постоянного сечения при постоянном по его длине значении продольной силы определяется по формуле: ^l = Nl / EA - закон Гука
где ЕА – жесткость сечения. Эта формула очень важна в курсе изучения сопротивления материалов вообще и в решении задач по сопромату в частности.