39Расчет на прочность при прямом поперечном изгибе.

Нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения при изгибе равно:

Где : Mz – изгибающий момент в поперечном сечении бруса; Jz – момент инерции поперечного сечения относительно главной центральной оси;

у – расстояние от главной центральной оси до рассматриваемой точки.

Прочность при прямом поперечном изгибе определяется величиной нормальных напряжений. Условие прочности на изгибе при расчете по до- пускаемым напряжениям для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию

При расчете на прочность при изгибе по предельным состояниям для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие

где М z max – максимальный по модулю изгибающий момент, определенный при действии на балку нормативных нагрузок в расчете по допускаемым напряжениям, или максимальный по модулю изгибающий момент, определенный от расчетных нагрузок в расчете по предельным состояниям; Wz – осевой момент сопротивления относительно нейтральной (глав- ной центральной) оси; [σ] – допускаемое напряжение для данного материала балки; R – расчетное сопротивление для данного материала балки. Только в редких случаях необходимо проверять подобранное сечение по касательным напряжениям. Величина касательных напряжений в любой точке

где Q – поперечная сила в сечении; отс Sz – статический момент площади части сечения, расположенной выше рассматриваемой точки, относительно нейтральной оси; b – ширина поперечного сечения на уровне рассматриваемой точки. Условие прочности по касательным напряжениям: ] τmax ≤ [τ – при расчете по допускаемым напряжениям или ≤ RS τmax – при расчете по предельным состояниям. Рассмотрим, как подбираются размеры различных поперечных сечений при прямом поперечном изгибе на конкретных примерах.

40.Косой изгиб. Определение внутренних усилий. Напряжения. Нейтральная ось

Косым изгибом называется такой вид изгиба , при котором плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Элемент бруса, примыкающий к этому сечению, находится в условиях косого изгиба.

Определение внутренних усилий при косом изгибе

Рис.7.5

При косом изгибе в поперечных сечениях бруса действуют следующие внутренние усилия: Mz, My – изгибающие моменты и Qy, Qz –поперечные (перерезывающие) силы. Это легко показать мысленно рассекая стержень и определяя внутренние усилия при косом изгибе консольной балки под действием сосредоточенной силы F на свободном конце (см. рис.7.5):

Правило знаков для внутренних усилий: изгибающие моменты – положительны, если вызывают растяжение в положительном квадранте координатной системы zOy; поперечные силы – положительны, если под их действием отсеченный элемент поворачивается по часовой стрелке. Таким образом, косой изгиб может быть представлен как совместное действие двух плоских изгибов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции.

Для определения полного изгибающего момента M и полной поперечной силы Q при косом изгибе достаточно определить внутренние усилия для каждого из плоских изгибов в отдельности (то есть Qy, Mz и Qz, My), а затем найти их векторную сумму:

,

Определение напряжений при косом изгибе

Используя принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) найдем напряжения при косом изгибе. Рассмотрим точку A с координатами (y, z) в сечении изгибаемой балки и определим в ней напряжения от каждого из внутренних усилий, возникающих при косом изгибе:

нормальные напряжения от изгибающего момента Mz: ;

нормальные напряжения от изгибающего момента My: ;

касательные напряжения от поперечной силы Qy: ;

касательные напряжения от поперечной силы Qz: ; (7.6)

Полные напряжения σ и τ при косом изгибе найдем путем геометрического суммирования составляющих

а) касательных ; (7.7)б) нормальных

.

Последнюю формулу удобно представить в виде

, или где – угол наклона силовой плоскости P при косом изгибе (а при сложном изгибе – угол наклона плоскости действия полного изгибающего момента M в данном сечении).

Нейтральная ось – линия, во всех точках которой нормальные напряжения равны нулю. При этом в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси нормальные напряжения принимают свои экстремальные значения – минимум и максимум.

Заметим, что при плоском изгибе нейтральная ось совпадала с одной из главных осей сечения (Oy или Oz), при косом же изгибе это не так. Выведем формулу для определения положения нейтральной оси при косом изгибе.

Так как σ=0, то можем записать:

Отсюда найдем уравнение нейтральной оси: (7.10)

Более удобно записать это уравнение через угол наклона нейтральной линии к оси Oz: (7.11)

Знак «минус» в этой формуле показывает, что углы и откладываются от разноименных осей, но в одном направлении. Как видим, в случае, когда Jz ≠ Jy, углы и не равны друг другу, а, значит, и плоскость кривизны (плоскость максимальных прогибов) бруса не будет совпадать с плоскостью действия сил. Поэтому такой изгиб и назван «косым».