24. Главные и главные центральные оси определения их положений и значений моментов инерции относительно их.

В заимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции.

значения главных осевых моментов инерции можно определить по формуле

Через любую точку в плоскости сечения можно провести соответствующие ей главные оси инерции. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести, т.е. главные центральные оси инерции. Моменты инерции относительно этих осей –главные центральные моменты инерции (Jmax,Jmin).

25. .Определение осевых моментов инерции прямоугольного поперечного сечения относительно собственных главных центральных осей

О пределим осевой момент инерции прямоугольника высотой h и

шириной b относительно оси z, проходящей через центр тяжести параллельно основанию (рис. 5.3).

Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси z, элементарную полоску высотой dy и шириной b.

Площадь этой полоски , расстояние от полоски до оси z равно y. Подставим эти величины в выражение (4.3) момента инерции. Пределы интегрирования здесь будут от

Центробежный момент инерции прямоугольника относительно оси

Zy равен нулю, так как эти оси совпадают с осями симметрии.

26. Определение осевых параметров инерции в треугольном поперечном сечении относительно собственных осей

Определим осевые моменты треугольника относительно оси z, проходящей через центр тяжести параллельно основанию (рис. 5.4,а, б).

Формула (5.9) справедлива для любых треугольников, если ось параллельна основанию и проходит через центр тяжести треугольника.

27. Определение осевых моментов инерции в круглом поперечном сечении относительно собственных главных центральных осей

Определим полярный момент инерции круга относительно его центра. Для этого выделим из круга элементарное кольцо толщиной  радиусом и площадью (рис. 5.5).Полярный момент инерции элементарного кольца относительно центра круга , так как все элементарные площадки d(dA),из которых состоит это кольцо, расположены на одинаковом расстоянии ρ от центра круга. Следовательно,

Моменты инерции (полярный и осевые) сечения, имеющего форму

кругового кольца с наружным диаметром D и внутренним d(рис. 5.6),

можно определить как разности между соответствующими моментами

инерции наружного и внутреннего кругов:

или, если обозначить

Аналогично для осевых моментов инерции кольца

28. Кручение. Определение внутренних усилий. Построение эпюр крутящих моментов

Кручением называется такой вид деформации, при котором в попе-

речных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор –

крутящий момент Тк. Кручение возникает в валах, винтовых пружинах и других элементах конструкций. Кручение прямого бруса происходит при нагружении его внешними скручивающими моментами (парами сил), плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Эти моменты обозначим М.

Эпюры крутящих моментов

К аждая ордината эпюры крутящих моментов в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том поперечном сечении бруса, которому соответствует эта ордината. В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, Кордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделан-

ный) и один свободный конец, крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно выражать через внешние моменты, приложенные со стороны свободного конца. Это позволяет определить крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Рассмотрим пример построения эпюры крутящих моментов. Проверим равновесие бруса (рис. 4.11):

ΣМ = −100 +150 + 75 −125 = 0.9(рисунок эпюры)

Используем метод сечений для определения крутящих моментов.

Для этого проведем четыре сечения на участках между смежными внешними скручивающими моментами.

На первом участке длиной l1 = 0,5 м величина крутящего момента,

определенная через внешние моменты левой части Т1к = 0.

На втором участке длиной l2 =1 м Т2к = −100 Нм.

На третьем участке длиной l3 = 0,8 м Т3к = −100 +150 = 50 Нм.

На четвертом участке длиной l4 =1 м Т1к удобнее определять через

сумму скручивающих моментов, расположенных справа от сечения.

Т4к =125 Нм.

На основании выполненных расчетов строим эпюру Тк.

Равновесие бруса обеспечено.: a)