Зависимость между осевыми и центробежным моментами инерции при повороте осей.
Предположим, что известны моменты инерции Jz, Jy и Jzy сечения относительно осей z и y старой системы координат с началом в той же точке О (рис. 5.7). Возьмем новую систему координат и с началом в той же точке О, но повернутую на некоторый угол ∝ относительно старой. Будем считать угол ∝ положительным, если старую систему координат для перехода к новой надо повернуть на этот угол против часовой стрелки
Э
лементарная
площадка dA
определяется координатами z
и y
в старой системе координат. Определим
координаты
и
этой
площадки в новой системе координат.
=1-2=(1-3)-(2-3)=(1-3)-(4-5)=(1-5)
-(0-5)
=y
-z
.
=(0-2)=(4-2)+(0-4)=(1-5)
+(0-5)
=y
+z
.
Подставим
эти значения координат в выражение
осевого момента инерции относительно
оси
:
=
=
=
+
-2
Или
=
+
-
(1)
Аналогично
=
=
=
+
-2
Или
=
(2)
Если
сложить моменты инерции относительно
осей
и
,
то получим
(3)
Следовательно, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при повороте осей на любой угол.
Определим теперь центральный момент инерции относительно осей и :
,
или
.
(4)
Формулы 1,2,4 позволяют установить, как изменяются моменты инерции сечения при повороте осей на произвольный угол ∝. При некоторых значениях угла ∝ осевые моменты инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции.
Из формулы (3) следует, что если осевой момент инерции относительно некоторой оси является максимальным (т.е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной ей оси является минимальным (т.е. эта ось также главная).
Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.
Исследуем
функцию
на
экстремум, для чего определим производную
и
приравняем ее к нулю.
-(
=0
;
Tg2
=
-
. (5)
Посмотрим, при каком угле ∝= центробежный момент инерции сечения обращается в ноль:
Tg2
Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент равен нулю. Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю. Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции.
И
з
уравнения (5) определяем угол 2
,
а потом и
(рис.). Если угол
положителен,
то исходные оси z и y необходимо повернуть
на угол
против
часовой стрелки, чтобы они стали главными.
Если
,
то ось
(u)
будет составлять угол ∝
с осью z, а ось
(v)
– угол
с осью y.
Если в формулах (1) и (2) для и тригонометрические функции cos2∝, sin2∝, sin2∝ выразить через tg2∝ и подставить его значение, то значения главных осевых моментов инерции можно определить по формуле:
(6)
Через любую точку в плоскости сечения можно провести соответствующие ей главные оси инерции. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести, т.е. главные центральные оси инерции. Моменты инерции относительно этих осей – главные центральные моменты инерции ( , ).