2. Типовые звенья автоматических систем управления

При исследовании САУ её разбивают на простые звенья. В результате это­го математическое описание каждого звена может быть составлено без учёта

22

связей его с другими звеньями, а описание всей САУ получено как совокуп­ность уравнений отдельных звеньев.

Усилительное звено. Уравнение усилительного звена имеет вид

У = Kx . (2.57)

Передаточная функция в этом случае будет

W (p) = K , (2.58)

а амплитудно-фазовая характеристика -

K = K (1 - T>²) - jKT²m² 1 - T²rn² + jT₂m~ 1 - Т²т² + T₂V ' ⁽²'⁵⁹⁾

Примером усилительного звена является рычаг (рис. 8). Уравнение рычага имеет вид

12

У = x

1

Рис. 8. Рычаг

Апериодическое звено. Уравнение этого звена имеет вид

T^dy + y = Kx d t .

Передаточная функция в этом случае будет

W (p) = ^K

(2.60)

Tp +1’

(2.61)

l

W (ja)

K

Ke

- jarctgTa

(2.62)

^Tj^a +¹ 4\ + T-

АФЧХ представляет собой полуокружность радиусом К/2 и центром в точке (К/2, j ■ 0) на действительной оси (рис. 9).

>2 2

a

а амплитудно-фазовая характеристика -

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

(2.63)

(2.64)

Рис. 9. Характеристика апериодического звена: а. - АФЧХ; b. - ЛАХ

L(а) = 20 lg A (а) = 20 lg K - 20lg^1 + T²o>² .

1

При малых значениях а << —

yfl + TW я 1; L (а) = 20 lg K .

На больших частотах, когда а >> 1,

у] 1 + T² а² я T т; L (а) = 20 lg K - 20 lg T а. (2.65)

апериодического звена.

Примером апериодического звена является рассмотренная ранее ёмкость. Колебательное звено. Уравнение этого звена

г2.

T

^d У + _T dy_ dt^{1 2} dt

У = Kx

(2.66)

В соответствии с выражениями (2.64) и (2.65) на рис. 9 приведена ЛАХ

£ =

T

2

2 T

< 1

(2.67)

причём T1 и T2 связаны условием

Это условие означает, что корни характеристического уравнения вида

^Ti² Р² + ^T2 Р +¹ = ⁰, (2.68)

соответствующего дифференциальному уравнению (2.66), являются комплексными. Передаточная функция, соответствующая уравнению (2.66), имеет вид

K

^{W (Р)} = т 2 + _T +₁ . (269)

^T1 Р + ^T2 Р +¹

Рис. 11. АФЧХ колебательного звена

Переходная функция, являющаяся решением уравнения (2.66) при x = 1(t), приведена на рис. 10.

Амплитудно-фазовая характеристика равна

K _ K(1 -ТУ)- jKT;G>² 1 - Т²ф- + jT₂a~ 1 - Т²аг + Т²ф- ■ ⁽²'⁷⁰⁾

Рис. 12. Электрический резонансный контур

Графический вид этой характеристики приведён на рис. 11. Примером ко­лебательного звена является электрический резонансный контур (рис. 12).

£

Т

2

2 Т

> 1

(2.71)

Если в уравнении (2.66) выполняется условие

то характеристическое уравнение (2.68) имеет отрицательные действительные корни. В этом случае звено называется апериодическим звеном второго поряд­ка. Примером такого звена является технологическая схема из двух ёмкостей (рис. 13). Все рассмотренные выше звенья называются статическими.

Рис. 13. Технологическая схема из двух ёмкостей

или в интегральной форме

t

y = K | xdt + х₀

0

Переходная функция интегрирующего звена имеет вид

h (t) = Kt;

Интегрирующее звено. Уравнение интегрирующего звена

^ddL = кх

d t

передаточная функция

W ( p ) = - K ;

Р

амплитудно-фазовая характеристика

j8(t) dt = 1 18

У (0 =\а{1 ^-т) х (г) т, ₍₂₂₂₎ 19

fit) - F(p) 21

—т— — pF (p) 23

^a0y ^(t): 23

=_К_ 25

\n-1 26

, _ч V(ф) 27

^W(j—⁾ = ^Кр О + j ^Тдиф —) 51

^ТИ ^— 51

(2.72)

(2.73)

(2.74)

(2.75)

(2.76)

Характеристика интегрирующего звена приведена на рис. 14.

Рис. 14. Характеристики интегрирующего звена: а. - переходная; b. - АФЧХ

26

Иногда применяется другая форма записи уравнения интегрирующего звена

_т dy

^т' т,⁼ * • ^(2Л7)

Примером интегрирующего звена является ёмкость с притоком жидкости сверху, причём расход на стоке не зависит от уровня в ёмкости (рис. 15). Такая ёмкость не обладает самовыравниванием на притоке. Интегрирующее звено на­зывается астатическим.

Дифференцирующее звено. Уравнение этого звена

переходная функция равна

h(t) = KS(t); (2.79)

передаточная функция

W(p) = Kp ; (2.80)

амплитудно-фазовая характеристика

W (jo) = jKo, (2.81)

т. е. она совпадает с положительной мнимой полуосью.

Характеристики дифференцирующего звена обратны характеристикам ин­тегрирующего звена. Идеальных дифференцирующих звеньев в природе не су­ществует, но они используются при анализе сложных систем, из которых мож­но выделить дифференцирующие звенья.

Звено с запаздыванием. Это звено без искажения воспроизводит на выхо­де входную величину, задерживая её на время запаздывания т.

Уравнение такого звена имеет вид

y^(t) = x^{(t -т)}; (2.82)

27

передаточная функция

(2.83)

W (p) = e~^{T p};

амплитудно-фазовая характеристика

W(jd) = e^-тт. (2.84)

Примерами таких звеньев являются транспортёры (рис. 16), длинные тру­бопроводы и т. д. Если известны расстояние l и скорость движения ленты транспортёра v, то запаздывание можно определить по формуле

Рис. 16. Транспортер

Т = l / V. (2.85)