4. Определение размера сечения балки

Для балки основной нагрузкой является изгибающий момент. Условие прочности

, (6)

где [σ], как и в разделе. 3, равно меньшему из двух значений – (см. формулу (3) ) или R_y ( см. формулу (4)).

Обычно один из моментов существенно меньше другого, и при выборе сечения его можно не учитывать для упрощения расчета, так же как и напряжения от продольной силы (M_y=0; P_z=0). Основную часть нагрузки при изгибе воспринимают полки балки. Металл полок работает на изгиб в 3 раза эффективнее, чем металл стенок. Для анализа работы различных сечений (см. рис.2) представим каждое из них состоящим из одной или двух стенок, высота которых равна высоте всей балки, и двух полок, которые включают в себя всю оставшуюся часть сечения (рис. 4). К такой схеме можно свести все 3 типа сечений, предназначенных для балок в вариантах задания.

Найдем вначале площадь и момент инерции сечения стенок. Для обеспечения местной устойчивости стенки (см. раздел 8) при отсутствии сжимающих ее сосредоточенных сил необходимо выполнить условие , где . Для ВСт3сп .

Таким образом, суммарная площадь сечения стенок

, (7)

где n – число стенок в сечении (1 или 2). Суммарный момент инерции стенок

. (8)

Рис.4. Схематизация сечения балки: 2 полки +1 или 2 стенки

Момент инерции всего сечения должен быть не менее требуемого из условия прочности (6)

. (9)

Если высота балки , то момент инерции стенок (без полок) меньше требуемого: . Полки должны обеспечить недостающий момент инерции . Из формулы

(10)

(моментом инерции полки относительно ее центра можно пренебречь) найдем необходимую для этого суммарную площадь сечения двух полок . Тогда площадь сечения всей балки, найденная из условия прочности

.

По мере роста h (высоты балки), вначале снижается за счет уменьшения сечения полок, а затем вновь растет за счет роста сечения стенок. Оптимальную высоту балки h_σ можно найти из условия прочности при минимуме площади сечения:

; ;

Для двутавровой балки или одиночного швеллера n = 1, и ее оптимальная высота из условия прочности (для ВСт3сп)

. (11)

Для коробчатой балки или пары швеллеров n = 2,

. (12)

Кроме рассмотренного условия прочности балки существует условие жесткости. Балка в конструкции обычно создает жесткую ровную опору для пола в здании, для тележки крана и т.д. Уклон не должен превышать предельного значения, которое задают в виде прогиба на единицу длины балки. Предельный прогиб (вертикальное перемещение незакрепленного конца балки), приведенный в задании, равен 20 мм. Уравнение, описывающее прогиб консольной балки, можно найти в справочнике или вывести, используя методы сопромата: . Из этого уравнения находят требуемый момент инерции

(13)

Далее, используя формулы (7,8,10), получим для двутавровой балки оптимальную высоту из условия жесткости:

; ;

; ; .

Для двутавровой балки или одиночного из ВСт3сп

. (14)

Для коробчатой балки или пары швеллеров

. (15)

Теперь необходимо совместить полученные решения с учетом одновременно и жесткости и прочности. Из сопоставлении требуемых моментов инерции, найденных из условий прочности (9) и жесткости (13) и условия следует, что при малых значениях h условие прочности требует меньшего момента инерции, чем условие жесткости, а при больших h - большего (рис.5). Из условия равенства требуемых моментов инерции можно определить высоту балки, при которой выполняется с одинаковым коэффициентом запаса и условие прочности, и условие жесткости

. (16)

Из рис. 5 ясно, что при h > h* запас прочности больше, чем жесткости, а при h < h* - наоборот. Поэтому при h < h* расчет следует вести только на жесткость, а при h > h* только на прочность. То есть h* - это порог высоты балки, до которого действуют уравнения жесткости (13 - 15), а свыше - уравнения прочности (9, 11, 12). Возможны 3 сочетания h_f, h* и h_σ. Если h_f < h*, то оптимальной является высота балки h = h_f; если h_σ > h*, то оптимальной является высота балки h = h_σ (этот случай показан на рис.5); если h_σ < h* < h_f, то оптимальной является высота балки h = h*.

Если полученная оптимальная высота больше габаритной h_max, то принимают h = h_max, но сечение и масса в этом случае увеличиваются. После выбора значения h остальные размеры сечения выбрать проще. Следует найти I_x по формуле (13), если h < h*, или по (9), если h > h*. Затем определить момент инерции стенки (или стенок, если балка коробчатая) по формуле (7). Остальная часть момента инерции приходится на полки - I_п. Зная I_п, по формуле (10) рассчитывают A_п. Толщину полок выбирают, как правило, больше, чем стенок, (от 10 до 30 мм).

Рис. 5. Зависимость требуемых момента инерции и площади сечения от высоты балки по условиям прочности (σ) и жесткости (f).

При выборе толщины стенок и полок следует учитывать, что уменьшение толщины стенки уменьшает массу балки, но может привести к местной потере устойчивости стенки. Уменьшение толщины полки и увеличение ее ширины улучшает общую устойчивость балки и ее работу на изгиб в горизонтальной плоскости, но может также привести к потере местной устойчивости в полке. По этим причинам может потребоваться корректировка выбранных размеров при проверочных расчетах (см. разделы 7 и 8).