До теми № 1.4.

Приклад 15.

Досліджували зріст допризовників 10-А та 10-Б класу однієї школи. Результати учнів 10-А класу були такими: 175 см, 171 см, 174 см, 173 см, 172 см. Результати учнів 10-Б класу були такими: 171 см, 166 см, 172 см, 168 см, 173 см. Дослідити, чи існує різниця між цими двома вибірками.

Розв’язання:

Задачі такого типу розповсюджені в експериментальній роботі. В них потрібно перевірити, чи існує різниця між двома вибірками. Якщо так, тоді роб-лять висновок про те, що певний фактор (причина) вплинув на появу цієї різниці.

Для розв’язку нашої задачі використаємо алгоритм, описаний у [1] на сторінках 33-34. Для зручності результати вимірів запишемо у вигляді таблиці такого виду:

N	10-A клас			10-Б клас
	h1i, см			h2i, см
1	175			171
2	171			166
3	174			172
4	173			168
5	172			173

Тепер приступаємо до розрахунків.

1. Знайдемо середнє арифметичне значення обох вибірок, впишемо внизу таблиці:

, .

2. Визначимо вибіркові дисперсії. Для цього використаємо допоміжні колонки в таблиці.

n	10-A клас			10-Б клас
	h1i, см			h2i, см
1	175	2	4	171	1	1
2	171	-2	4	166	-4	16
3	174	1	1	172	2	4
4	173	0	0	168	-2	4
5	172	-1	1	173	3	9
			 = 10			 = 34

, .

3. Розрахуємо середні квадратичні відхилення окремих результатів:

4. Визначимо модуль різниці між середніми арифметичними вибірок:

.

5. Знайдемо критерії вірогідності (при n₁ = n₂):

6. Розрахуємо число ступенів свободи:

 = n₁ + n₂ – 2 = 5 + 5 – 2 = 8.

7. Знайдемо за Додатком V із [1] коефіцієнт Стьюдента t_st при  = 8:

t_95% = 2,306; t_99% = 3,355; t_99,9% = 5,041.

8. Порівняємо t_d та t_st і зробимо висновок:

Так як t_d (2,02) < t_95% (2,306), то хоча різниця між цими двома вибірками є (d = 3  0), але достовірність цієї різниці Р<95% - для медицини не підходить. Тому робимо висновок, що зріст допризовників одного віку, що проживають у, приблизно, одній місцевості і навчаються у одній школі, суттєво не відрізняється з точки зору медицини.

Приклад 16.

Дослідили ударний серцевий об’єм крові людей в стані спокою і під наркозом. В стані спокою , під наркозом , середні квадратичні відхилення окремих результатів відповідно дорівнюють: S₁ = 5 мл, S₂ = 4 мл. Визначити, чи існує різниця між цими двома вибірками, якщо n₁ = n₂ = 11.

Розв’язання:

1. S₁ = 5 мл, S₂ = 4 мл.

2. .

3.

4.  = n₁ + n₂ – 2 = 11 + 11 – 2 = 20.

5. t_95% = 2,086; t_99% = 2,845; t_99,9% = 3,850.

6. Так як t_99% < t_d < t_99,9%, то можна стверджувати, що різниця між двома вибірками є і вона достовірна з ймовірністю 99% < Р < 99,9%. Це означає, що наркоз впливає на ударний серцевий об’єм крові та з ймовірністю 99% < Р < 99,9% зменшує його.

Приклад 17.

Для з’ясування ефективності використання нових вітамінів росту досліджували дві групи дітей. Кількість дітей у першій групі n₁=14, в другій (контрольній) – n₂=12. Першій групі дітей до їжі додавали вітаміни росту. Через деякій час виміряли масу тіла дітей першої та другої групи. Отримали такі результати: = 8 кг; S₁=0,34 кг; =7,7 кг; S₂=0,44 кг. Оцінити вірогідність різниці між двома вибірками і зробити висновок.

Розв’язання:

В нашому випадку треба встановити, чи вплинули вітаміни на ріст дітей. Задачі такого типу розв’язують по схемі, описаній в [1] на сторінках 33-34. Отже:

1) S₁=0,34 кг; S₂=0,44 кг;

2) ;

3) Так як n₁  n₂, то:

4)  = n₁ + n₂ – 2 = 14 + 12 – 2 = 24;

5) Знайдемо коефіцієнт t_st за Додатком 5 на сторінці 47 із [1].

t_95% = 2,064; t_99% = 2,797; t_99,9% = 3,745.

6) так як t_d > t_99%, то різниця між двома вибірками вірогідна з ймовірністю Р>99,9%. Це означає, що нові вітаміни з ймовірністю >99,9% прискорюють зростання маси тіла дітей порівняно зі звичайним режимом харчування без вітамінів. Тобто можна зробити інший висновок: дані вітаміни ефективні і їх можна рекомендувати для застосування (якщо немає протипоказань).

Приклад 18.

Середнє арифметичне значення атмосферного тиску становить , абсолютна похибка _Р = 3,5 кПа. Визначити відносну похибку зроблених вимірів.

Розв’язання:

Відносну похибку шукаємо за формулою:

де Е_Х – відносна похибка, _Х – абсолютна похибка, - середнє арифметичне результатів вимірів.

В нашому випадку:

Відповідь: Е_Р = 0,034 або Е_Р = 3,4%.

Приклад 19.

В’язкість води при різних температурах знаходять по таблиці в довіднику. При t = 17С вона становить  = 0,00108 Нс/м². Знайти абсолютну та відносну похибку цієї табличної величини.

Розв’язання:

Абсолютна похибка табличної величини дорівнює половині одиниці розряду останньої значущої цифри. Наприклад, якщо якась величина Х = 13,270, то остання значуща цифра у неї 7. Це розряд сотих. Одиниця з цього розряду – це одна сота (0,01). Щоб взяти половину цієї одиниці розділимо її навпіл:

Х = 13,270

В нашому випадку:

 = 0,00108 Нс/м²

Тепер

Відповідь: _ = 0,000005 Нс/м²; Е_ = 0,0046 або 0,46%.

Приклад 20.

Довжину дитини поміряли метром з ціною поділки 0,5 см. Результат виявився h = 52 см. Визначити абсолютну і відносну похибку цього вимірювання.

Розв’язання:

Абсолютну похибку однократного виміру шукаємо за формулою 43 з [1]:

Відповідь: _h = 0,25 см; Е_h = 0,0048 або 0,48%.