До теми № 1.3.

Приклад 11.

У місті за добу народились немовлята такої маси: 2,8 кг, 3,4 кг, 3,2 кг, 3,1 кг, 2,9 кг, 3,3 кг, 3,0 кг.

Обчисліть вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, вибіркове середнє квадратичне відхилення окремих результатів (вибіркове стандартне відхилення).

Розв’язання:

Обчислимо вибіркове середнє (середнє арифметичне) за такою формулою:

.

Визначимо дисперсію за формулою № 19а із [1]:

Приклад 12.

У 9 хворих на пневмонію виміряли кількість вдихів за 1 хвилину. Отримали такі результати: 26, 30, 27, 33, 29, 31, 32, 34, 28.

Записати результат у вигляді надійного інтервалу з ймовірністю =0,95.

Розв’язання:

В цьому завданні вимагається знайти найбільш ймовірне значення вимірювальної величини і похибку _Х для наперед заданого значення надійної ймовірності . Потім результат записати у певному вигляді:

для =0,95. По даному запису треба зробити певний висновок (це завдання подібне до прикладу 8в).

Розв’язання цієї задачі необхідно робити в такій послідовності:

Обробка результатів малої вибірки (n  30)

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) t_st – шукають по таблиці коефіцієнтів Стьюдента із додатку ІІ [1], маючи n та ;

6) або або ;

7) з .

Такі кроки треба зробити, щоб розв’язати нашу задачу. Отже, приступаємо. Перші три пункти знайдемо по аналогії із прикладом 10:

Нехай N – кількість вдихів. Тоді:

1)

2)

3) ;

4) ;

5) (по таблиці, Додаток ІІ, [1]);

6)

7) з 

з =0,95.

Тепер запишемо результат у вигляді висновку-відповіді:

У хворих на пневмонію кількість вдихів за 1 хвилину становить . Даний результат достовірний з ймовірністю =0,95 або 95%.

Іншими словами: у 95% хворих на пневмонію кількість вдихів за 1 хвилину становить .

Примітка: Зверніть увагу, що _Х в п. 6 можна шукати по одній із трьох формул. Це означає, що при розв’язку задач, подібних до прикладу 11, не обов’язвоко потрібно виконувати усі 7 кроків. В умові задачі одразу може бути дано або .

Приклад 13.

Записати значення довжини новонароджених у вигляді надійного інтервалу, якщо , Д_в = 36 см, n = 25,  = 0,99.

Розв’язання:

Так як n  30, це мала вибірка, то розв’язання виконуємо по аналогії із прикладом 11.

1)

2) Д_в = 36 см²;

3)

4)

5)

6)

7) з ;

з =0,99.

Тепер запишемо висновок-відповідь:

Довжина новонароджених дітей становить (503,4) см. Даний результат достовірний з ймовірністю 0,99 або 99%.

Іншими словами: У 99% новонароджених дітей довжина тіла становить (503,4) см.

Приклад №14.

У 4 здорових студентів виміряли частоту скорочень серця за 1 хв. Отримали такі результати: 70 скор./хв., 64 скор./хв., 66 скор./хв., 68 скор./хв. Записати результат у вигляді інтервалу з ймовірністю  = 0,99.

Розв’язання:

Так як n=4, то це мала вибірка (n  30). Тому задачу будемо робити, як у прикладі №11. Для зручності розмістимо дані у таблицю, яка містить 4 колонки. У першій запишемо номери по порядку, у другій – значення результатів вимірів. Вийде ось така таблиця:

n	i, скор./хв.
1	70
2	64
3	66
4	68

Приступаємо до розв’язання.

1. Середнє арифметичне знайдемо за формулою:

Запишемо його внизу під колонкою №2.

2.

Щоб знайти вибіркову дисперсію, використаємо дві пустих колонки нашої таблиці. У колонці №3 запишемо результати віднімання середнього арифметичного від окремих результатів, у колонці №4 – квадрат цієї різниці. Вийде ось така таблиця:

n	i, скор./хв.
1	70	3	9
2	64	-3	9
3	66	-1	1
4	68	1	1
			 = 20

Знайдемо суму чисел у колонці №4 і запишемо її внизу під таблицею. Ця сума є чисельником дробу, з якого ми отримаємо шукану дисперсію:

Подальше розв’язання задачі проводимо по відомій нам схемі.

3.

4.

5.

6.

7. з ;

з =0,99.

Запишемо висновок-відповідь:

У 99% фізично здорових студентів частота скорочень серця становить (678) скор./хв.