До теми № 1.2.

Приклад 6.

Протягом року учень у школі отримував такі оцінки: „1” бал – 0 разів, „2” бали – 0 разів, „3” бали – 2 рази, „4” бали – 5 разів, „5” балів – 8 разів, „6” балів – 14 разів, „7” балів – 23 рази, „8” балів – 30 разів, „9” балів – 25 разів, „10” балів – 12 разів, „11” балів – 7 разів, „12” балів – 4 рази. Встановити закон розподілу оцінок і задати його:

а) у вигляді таблиці;

б) гістограмою;

в) багатокутником.

Розв’язання:

Закон розподілу встановлює відповідність між величиною та її ймовірністю. Щоб знайти ймовірність кожної оцінки, використаємо статистичний спосіб. Всього за рік учень отримав n=130 оцінок. Тоді:

а) Закон розподілу у вигляді таблиці буде мати такий вигляд:

Оцінка в балах, Хі	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Ймовір- ність, Рі	0	0	0,0154	0,0385	0,0615	0,1077	0,1769	0,2308	0,1923	0,0923	0,0538	0,0308

б) Закон розподілу у вигляді гістограми матиме такий вигляд:

в) закон розподілу у вигляді багатокутника матиме такий вигляд:

Приклад 7.

Закон розподілу випадкової величини Х задано наступною таблицею:

Хі	11	12	13	14	15	16	17
Р(хі)	0,02	0,10	0,22	0,30	0,23	0,12	0,01

Обчислити її математичне очікування, дисперсію і середнє квадратичне відхилення окремих результатів.

Розв’язання:

Математичне очікування обчислюється за формулою №17 із [1]:

Підставимо значення з таблиці у формулу. Тоді:

М(х)=110,02+120,10+130,22+140,30+150,23+160,12+170,01=

=0,22+1,2+2,86+4,2+3,45+1,92+0,17=14,02.

Дисперсію обчислимо за формулою №19 із [1]:

Середнє квадратичне відхилення окремих результатів обчислимо за формулою №20 із [1]:

Відповідь: М(х)=14,02; Д=1,5996;  =1,265.

Приклад 8.

У 130 студентів виміряли тривалість нічного сну. Результати виявились такими: 3 години спали 7 студентів, 4 години – 9 студентів, 5 годин – 16 студентів, 6 годин – 28 студентів, 7 годин – 30 студентів, 8 годин – 23 студенти, 9 годин – 12 студентів, 10 годин – 5 студентів.

а) задати закон розподілу у вигляді таблиці.

б) визначити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення тривалості сну.

в) записати значення тривалості сну у вигляді інтервалу t_шукане=М(t) з надійною ймовірністю =0,99.

Розв’язання:

а) Аналогічно прикладу 6 розв’яжемо це завдання. Тоді закон розподілу тривалості сну буде мати такий вигляд:

tі, год.	3	4	5	6	7	8	9	10
Р(tі)	0,0538	0,0692	0,1231	0,2154	0,2308	0,1769	0,0923	0,0385

б) За аналогією з прикладом 7 знайдемо математичне очікування:

Теж по аналогії з прикладом 7 знайдемо дисперсію і середнє квадратичне відхилення окремих результатів:

в) В цьому завданні необхідно знайти найбільш ймовірне значення вимірюваної величини М(х) і похибку  для наперед заданого значення надійної ймовірності . Потім результат записати у певному вигляді: Х_шукане= М(х) для =0,999. По даному результату треба зробити висновок.

Розв’язання цього завдання необхідно робити в такій послідовності:

Обробка результатів великої вибірки (n>30).

1)

2)

3)

4)

5) а)

б) по таблиці значень функції Ф(t) з Додатку І, [1], знайти t;

6)

7) Х_шукане= М(х) з .

Такі кроки треба зробити, щоб розв’язати нашу задачу.

Отже, приступаємо. Так як перші три кроки ми виконали у попередньому завданні, то ми лише перепишемо результати:

1)

2) годин²;

3)

4) Визначимо m:

5) розрахуємо значення функції Ф(t), використавши значення =0,999 (з умови задачі):

а)

б) тепер по таблиці з Додатку І, [1], знайдемо t:

t=3,3;

6) обчислимо значення ширини надійного інтервалу (похибки) :

7) запишемо результат у вигляді надійного інтервалу:

t_шукане= М(t) з ;

t_шукане=(6,60,5) годин з =0,999.

Тепер запишемо результат у вигляді висновку-відповіді:

Тривалість сну студентів становить (6,60,5) годин. Даний результат достовірний з ймовірністю =0,999 або 99,9%.

Примітка. Зверніть увагу, що значення величин  в п.6 можна шукати по будь-якій з трьох формул. Це означає, що при розв’язанні задач, подібних до прикладу 8 в), не обов’язково потрібно виконувати усі 7 кроків. В умові задачі одразу може бути дано  або m.

Приклад 9.

При дослідженні об’єму води, яку доросла людина вживає за добу (в будь-якому вигляді), отримали такі результати: найбільш ймовірне значення об’єму води дорівнює 1,8 л, дисперсія – 1,45 л². У дослідженні прийняли участь 144 особи. Записати кінцевий результат у вигляді надійного інтервалу з ймовірністю =0,95.

Розв’язання:

Так як n>30, це велика вибірка, то розв’язання виконуємо по аналогії із прикладом 8 в):

1) де V – об’єм води;

2)

3)

4)

5) а)

б) t=2,0;

6)

7) V_шукане= М(х) з ;

V_шукане= (1,80,2) л з =0,95.

Отже, висновок-відповідь:

Об’єм води (в будь-якому вигляді), який доросла людина вживає за добу, становить V_шукане= (1,80,2) л. Даний результат достовірний з ймовірністю 0,95 або 95%.

Іншими словами: 95% дорослих людей за добу вживають (в будь-якому вигляді) (1,80,2) л води.

Приклад 10.

У здорових людей виміряли кількість вдихів за хвилину: 15 вдихів/хв. у 10 чоловік, 20 вдихів/хв. – у 20 чоловік, 25 вдихів/хв. – у 10 чоловік. Записати досліджувану величину у вигляді інтервалу з ймовірністю =0,999.

Розв’язання:

Так як n=40, то це велика вибірка (n>30). Тому задачу будемо робити так, як у прикладові 8в. Для зручності розмістимо дані у таблицю, яка має сім колонок. В першій колонці запишемо значення результатів вимірів, а у другій – скільки раз вони зустрічаються.

Вийде ось така таблиця:

Кі, вдихів/хв	mi
15	10
20	20
25	10

Приступаємо до розв’язання.

1) Математичне очікування знаходимо за формулою:

Для цього використаємо таблицю. У колонці №3 запишемо ймовірність кожного виміру (Р_і), а у колонці №4 – добуток величини на її ймовірність К_і  Р_і. Вийде ось така таблиця:

Кі, вдихів/хв	mi	Рі	Кі  Рі
15	10	0,25	3,75
20	20	0,5	10
25	10	0,25	6,25
			=20 вдих/хв

Знайдемо суму чисел у колонці №4 і запишемо її внизу під таблицею. Ця сума і є математичне очікування: М(К) = 20 вдихів/хв.

2) Дисперсію шукатимемо за формулою:

Щоб знайти дисперсію, використаємо решту пустих колонок. У колонці №5 запишемо результати віднімання математичного очікування від окремих результатів, у колонці №6 – квадрат цієї різниці, у колонці №7 – добуток квадрату різниці на ймовірність. Знайдемо суму чисел у колонці №7 і запишемо її внизу під таблицею.

Тоді наша таблиця матиме такий вигляд:

Кі, вдихів/хв	mi	Рі	Кі  Рі	Кі – М(К)	(Кі – М(К))2	(Кі – М(К))2  Рі
15	10	0,25	3,75	-5	25	6,25
20	20	0,5	10	0	0	0
25	10	0,25	6,25	5	25	6,25
			=20 вдих/хв			=12,5 вдих/хв

Д = 12,5 (вдихів/хв.)².

Далі розв’язання задачі проводимо по відомій нам схемі.

3) ;

4) ;

5) а) ;

б) t=3,3;

6)

7) К_шукане= М(К) з ;

К_шукане= (202) вдихів/хв. з =0,999.

Запишемо висновок-відповідь:

99,9% здорових людей робить за 1 хв. (202) вдихів.