§ 9. Формула Тейлора

n-1. Теорема Тейлора

Пусть функция f(x) имеет в точке a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1 (т.е. функция f(x) и ее производные до порядка nнепрерывны и дифференцируемы в этой окрестности). Пусть x – любой значение аргумента из указанной окрестности, x a. Тогда между точками aи х найдется точка ξтакая, что справедлива следующая формула:

1. 

Формула (1) называется формулой Тейлора для – остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно переписать в другом виде. Т.к. точка , то найдется такое число что и остаточный член принимает вид

Часто формулу Тейлора (1) записывают в ином виде.

Положим в (1) , тогда

При n=0 из (5) получается формула Лагранжа

Таким образом, при остаточный член формулы Тейлора является б.м. величиной более высокого порядка малости, чем т.е.

(6)

Формула (6) называется остаточным членом в форме Пеано

n-2. Формула Маклорена

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a=0:

Остаточный член имеет вид:

1. В форме Лагранжа

2. В форме Пеано

С помощью формулы Маклорена функции можно с определенной степенью точности заменять многочленами, являющимися наиболее простыми элементарными функциями.

Геометрический смысл формулы Тейлора заключается в том, что замена значения функции f(x) на значение многочлена Тейлора равносильна замене графика функции y=f(x) графиком многочлена n-ой степени.

Например, использование формулы Тейлора при n=2 означает замену графика функции y=f(x) в окрестности точки a параболой

Пример 1.

Замена показательной функции в соответствии с формулой Тейлора при n=2 квадратичной функцией означает замену графика показательной функции параболой. Эта парабола касается прямой y=1+x в точке (0; 1)

Из рисунка видно, что оценка значений функции по формуле является более точной, чем по формуле

Абсолютная ошибка вычисления значения при х=-1 в первом случае а во втором случае

Пример 5.

Покажем, как вычислить число е с любой необходимой точностью

Если заменить функцию ее многочленом Тейлора степени n, то получим приближенное равенство

абсолютная погрешность которого

Если рассматривать функцию для то

Полагая x=1 , получаем приближенное значение числа e:

При этом абсолютная погрешность меньше . Если требуется вычислить значение eс точностью до 0,001, то число nопределяется из неравенства для n=6 неравенство верно.