§9. Производные и дифференциалы высших порядков

n-1. Понятие производной n-го порядка

f’(x) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х=> по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и накоплении производной. Назовем f’(x) производной первого порядка функции f(x). Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка этой функции и т.д. Производные, начиная со второй называют производными высших порядков и обозначаются y’’, y’’’,

Производная n-го порядка является производной от производной (n-1)-го порядка, т.е. Если функция y=f(x) описывает запас движения материальной точки по прямой линии, то 2-ая производная равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.

Дифференциалом 2-го порядка называют дифференциал от первого дифференциала.

Дифференциалы высшего порядка свойством инвариантности не обладают. Дифференциалы высшего порядка для независимой переменной равны 0. Покажем нарушения инвариантности для дифференциала 2-го порядка (

Пустьy=f(x), x= (t), т.е. y=f( (t)), тогдаdy=

(dx

Если бы x была независимой переменной, то поэтому инвариантность формы записи 2-ого дифференциала нарушается.

Формулы для n-ых производных некоторых функций

1. Вычислим n-ю производную функции y= , x>0, R.

Последовательно дифференцируя, имеем:

y’=

В частном случае, если =m, m

2. 

n

3. y=sinx

y’=cosx=sin

Аналогично

n-2. Уравнения касательной и нормали к кривой на плоскости

Если кривая – график функции y=f(x), т по геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной k= , т.е. k= .

Касательная – это прямая y=kx+b, т.к. она проведена через точку M₀(x₀, f(x₀)) , то f(x₀)=tg

b= тогда

Наличие в точке графика функции y=f(x) касательной, непараллельной Oy, эквивалентно дифференцируемости функции в соответствующей точке. Функция, имеющая в любой точке некоторого отрезка конечную производную, а, следовательно, и касательную непараллельную Оу, называется гладкой, график ее тоже, называется гладким.

Определение 8.5

Прямая, перпендикулярная к касательной к кривой и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Коэффициенты касательной и нормали связаны соотношением k₁k₂=-1 =>k₂=

Таким образом, уравнение нормали в точке М₀(х₀, f(x₀))

Если f’(x₀)=0, то нормаль параллельна Оу

Если f’(x₀)= , то касательная существует и параллельна Oy

Определение 8.6

Углом между 2-мя пересекающимися гладкими в точке пересечения кривыми называется угол между касательными к кривым в точке пепесечения.

Пусть y=f₁(x), y=f₂(xл), y₁ y₂=M₀(x₀, f₁(x₀))=M₀(x₀ ,f₂(x₀)) и гладкие в ней, тогда

где – угол между f₁и f­­₂

Если кривые касаются, если – называются нормальными или ортогональными в точке M₀

n-3. Применение понятия производной в экономике.

Пусть издержки производства выражаются функцией k=k(x), где х – количество произведенной продукции. Найдем где – приращение издержек производства с увеличением Vпроизведенной продукции на . Отношение – среднее приращение издержек производства, т.е. приращение издержек производства на единицу произведенной продукции. Если существует ,то k’(x) называется предельными издержками производства.

Если функция y=f(x) получает приращение при приращении аргумента , то отношение называется относительным приращением функции, а отношение относительным приращением аргумента.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к 0.

Эластичность функции дает приближенный процентный прирост функции при приращении аргумента х на 1%

Пример:

Найти эластичность спроса относительно цены в предположении, что спрос q зависит от цены p, q=q(p)

Решение:

Величина показывает, как изменяется спрос на данный товар, если цена возрастет на 1%, т.к. обычно , т.к. это функция убывающая (с увеличением цены спрос уменьшается), то берут со знаком « - »:

Пусть , тогда

При p=1 , т.е. с увеличением цены на 1% спрос уменьшается на 1,9%

Если , то спрос эластичен, если – нейтрален, неэластичен