5. Правила вычисления производной алгебраической суммы, произведения и частного

1. Пусть функция y=f(x) имеет производную y’ в точке х₀,тогда функция u=cy, c=const имеет производную в точке х₀, а именно: u’=cy’

2. Пусть функции u= и v=f(x) имеют в точке конечные производные u’(x₀) и v’(x₀), тогда функцияy=u имеет в точке х₀ производную y’=u’ ’.

3) Пусть функции uи vимеют в точке х₀ конечные производные u’(x₀), v’(x₀) и y=uv. Тогда существует производная y’(x₀) и y’=u’v+v’u

4) Пусть u и v имеют в точке х₀ конечные производные u’(x₀), v’(x₀) , y= , тогда существует y’(x₀) иy’= .

5) Логарифмическая производная

Пусть даны функции u= определены на Х и имеющие производные u’(x₀) и v’(x₀) в точке х₀ Х, тогда сложная функция y=( ^f(x)тоже имеет производную. Т.к. по условию, y можно прологарифмировать lny=f(x)ln . Дифференцируя и приравнивая части получим

§8. Дифференциал

n-1. Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 8.1. Пусть дана функция y=f(x), определенная на множестве Х, и в точке х₀ Х существует y’(x₀). Тогда по определению производной , а по определению предела ,

Если y можно представить в виде y=А x+ , где А 0, то величина А , линейная относительно ,называется дифференциалом функции y=f(x) в точке х₀, т.е. dy=A . Если А существует, то функция называется дифференцируемой.

Определение 8.2

Любое приращение такое, что (х+ Х, принимается за дифференциал независимой переменной, тогда

Таким образом, dy=Adx

Определение 8.3

Если , т.е. А=0, то будем считать, что дифференциал существует и dy=0. В этом случае f’(x₀)=0 и функция дифференцируема. Таким образом dy= =f’(x₀)dx

Если функция y=f(x) дифференцируема, то dy и –б.м. при 0

Определение 8.4

Дифференциалом dy функции y=f(x) называется главная, линейная относительно , часть приращений функции А при А 0, т.е. dy=Adx и dy=0 при А=0.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала

Пусть кривая L задана уравнением y=f(x) и функция y=f(x) в точке х₀ имеет конечную производную y’=f’(x₀). К кривой Lчерез точку M₀ (x₀,y₀) проведем касательную М₀Т, которая в этом случае существует.

Дадим аргументу х приращение =dx, найдем и возьмем точку M₁ (х₀+ ,у₀+ ). Из M₀B:

АВ=АМ₀tg = =y’ =dy

Дифференциал функции в точке х₀ – это приращение ординаты касательной к кривой в этой точке.

Таким образом, y’= , т.е. производная – это отношение дифференциала ыункци к дифференциалу аргумента. dy зависит от dxи изменяется пропорционально ему, y’(x) – коэффициент пропорциональности.

Пусть y=f(x), x X, dy=y’(x)dx. Рассмотрим сложную функцию y=F(x)=f( (u)), где y=f(u), u= (x), x X, причем u= (x) и u=f(u) дифференцируемы соответственно в точках х и u= (x). Тогдаdy=F’(x)dx, но F’(x)= , а т.к. , то dy=

Таким образом форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Из инвариантности следует, что, хотя dy= (x- независимая переменная), а dy= (u=u(x) –функция), запись их одинакова, но сущность этих формул различна. Dx задается произвольно, du задать произвольно нельзя; du нужно вычислять по формуле дифференциала du=u’dx. Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.

n-2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

По определению dy 0 при условии, что . главная часть приращения функции , т.е. или f(x₀+ ) - f(x₀) - y’(x₀)dx = =>f(x₀+ ) f(x₀) +f’(x₀)dx

Относительная погрешность при этом при 0 становится сколь угодно малой.

Если =х-х₀, х=х₀+ , f(x) f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) –уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х₀, т.е. мы приблизительно заменяем участок кривой y=f(x) отрезком касательной.

Если х₀=0, то f(x) f(0)+f’(0)x. Для 1некоторых элементарных функций имеем: , ,

Основной принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям значений функций следующий: пусть необходимо для х Х вычислить значение функции y=f(x), но этого сделать сразу нельзя, тогда вблизи х ищем значение х₀, такое, чтобы f(x₀) и f’(x₀) легко находилось.