16

Глава III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§7. Производная

1. Определение производной

Рассмотрим следующие задачи, приводящие к пониманию производной.

1. Проведение касательной к кривой на плоскости

Пусть на плоскости β дана некоторая непрерывная кривая L. Возьмем на ней некоторую фиксированную точку М₀. Если М₁≠М₀, М₁ ∋ L - секущая. Будем перемещать М₁ вдоль L так, чтобы М₁ стремилась к совпадению с М₀. Секущая будет менять свое положение в зависимости от положения М₁. Предельное положение секущей М₀М₁ (если оно существует) при М₁→М₀ называется касательной к кривой L в точке М₀.

Пусть кривая L задана в системе координат хОу уравнением . .

Найдем угловой коэффициент секущей М₀М₁: из ∆М₀КМ₁: зависит только от ∆х. Т.к. М₁→М₀ ~ ∆х→0, угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой L в точке М₀(х₀,у₀), получим предельным переходом при ∆х→0, т.е. , если этот предел существует и конечен.

2. Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки

- уравнение движения точки и - путь, пройденный точкой до фиксированного момента . Найдем путь, пройденный точкой за время : .

Средней скоростью ϑ_ср прямолинейного движения за время ∆t наз-ся отношение пройденного пути к затраченному времени: . Если существует предел ϑ_ср при ∆t→0, он называется мгновенной скоростью в момент t₀: .

3. Нахождение производительности труда

Пусть известна функция u=u(t), выражающая количество произведенной продукции и за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. .

Производительностью труда рабочего в момент t₀ называется предел, к которому стремится z_cp при .

Сопоставляя рассмотренные задачи, видим, что во всех случаях выполняются аналогичные действия. Дадим опр-е производной.

Опр.7.1: Пусть дана функция Выберем некоторую точку х₀∈Х и найдем . Дадим х₀ приращение так, чтобы которое зависит только от ∆х. Найдем отношение ∆у/∆х. Перейдем к пределу при ∆х→0, т.е. найдем . Если этот предел отношения приращения функции ∆у к соответствующему приращению аргумента ∆х при ∆х→0, (∆х≠0) ∃ и конечен, он называется производной функции в точке х₀.

Т.о., в задаче (1) нахождения условного коэффициента касательной к кривой в точке М₀(х₀,у₀) сводится к нахождению

Получили геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной в точке х=х₀ есть производная ф-ии у по аргументу х.

Из (2) задачи следует механический смысл производной: мгновенная скорость в момент времени t₀ есть производная ф-ии пути по времени

В (3) задаче вычисление производной производительности труда рабочего в момент времени t₀ сводится к вычислению производной ф-ии кол-ва произведенной продукции по времени:

Пример: Найти производные:

1. . Для ∆х≠0

2. 

; ;

Т.о., значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.

2. Понятие дифференцируемости функции

Опр.7.2: Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение ∆у в этой точке можно представить в виде (*) где - б.м. при , т.е.

Теорема 7.1: (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции)

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке х₀ чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Т.о., для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной – равносильные понятия, поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Теорема 7.2: (связь дифференцируемости и непрерывности функции)

Если функция определена на Х и в точке х₀∈Х имеет конечную производную , то непрерывна в точке х₀.

Следствие: в точках разрыва функции производная не существует.

3. Односторонние и бесконечные производные

В определении производной предполагалось, что предел и конечен. Но эти условия не всегда выполняются. Предел в некоторых точках может не существовать, а может быть бесконечным.

Определение 7.3

Односторонними производными называется и если они существуют. По аналогии с односторонними пределами их называют правой и левой производными и обозначают соответственно f’(x₀+0) и f’(x₀-0).

Очевидно, что если в точке х₀ существует производная, то существует и односторонние производные и они равны между собой.

Определение 7.4

Если , то производная называется бесконечной

n-4.Производная сложной и обратной функции

Теорема 7.3 (производная сложной функции). Если функция u= имеет в некоторой точке х₀ производную , а функция у=f(u) имеет в соответствующей точке u₀= производную , то сложная функция y=f( ) имеет производную в точке х₀

Теорема 7.4 (производная обратной функции)

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции и в точке х₀ имеет обратную производную f’(x₀) 0. Тогда обратная функция x=g(y) в точке у₀ также имеет конечную производную, равную .

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. Рассмотрим в некоторой окрестности точки х₀ произвольную y=f(x) (или обратную функции x=g(y)). Пусть точке х₀ на этом графике соответствует точка M. f’(x₀)=tg , т.е. tg угла наклона касательной, проходящей между точкой М, к оси Ох. Производная обратной функции g’(y₀) равна tg угла наклона той же касательной к оси Оу. Т.к. .