Матрица масштабирования

Если в единичной матрице заменить диагональные элементы произвольными ненулевыми числами, то полученная матрица называется матрицей масштабирования.       Иначе говоря, любая диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами является матрицей масштабирования.       Если матрицы масштабирования получена из единичной матрицы E умножением одной из ее строк (или столбца) на ненулевое число λ, то такая матрица называется элементарной матрицей масштабирования.       Легко проверяются следующие свойства элементарной матрицы масштабирования.

1. Умножение слева элементарной матрицы масштабирования на прямоугольную матрицу A приводит к умножению соответствующей строки матрицы A на число λ.

2. Умножение справа элементарной матрицы масштабирования на прямоугольную матрицу A приводит к умножению соответствующего столбца матрицы A на число λ.

      Пусть, например, второй строкой матрицы масштабирования является строка вида (0, λ, 0, 0, ..., 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы  A = || a_i j ||  является строка (λa₂₁ λa₂₂ λa₂₃ ...).       Терема 1. Произведение матриц масштабирования одного и того же порядка есть матрица масштабирования.       Терема 2. Матрица масштабирования  n-го порядка может быть представлена в виде произведения (n - 1) элементарных матриц масштабирования.       Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.

Примеры матриц масштабирования. Элементарные матрицы масштабирования:

Матрицы масштабирования:

Неунитарная матрица

Если в одной или нескольких строках (или столбцах) единичной матрицы заменить по одному внедиагональному элементу произвольными ненулевыми числами, то полученная матрица называется неунитарной матрицей.       Если такая замена произведена только в одной строке (или столбце) единичной матрицы, то полученная матрица называется элементарной неунитарной матрицей.       Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства неунитарной матрицы.

1. Пусть неунитарная матрица получена из единичной матрицы заменой  i,j-го внедиагонального элемента числом λ. Тогда при умножении слева матрицы на прямоугольную матрицу A к i-ой строке матрицы A прибаляется ее  j-ая строка, умноженная на число λ.

2. Умножение справа неунитарной матрицы на матрицу A приводит к прибавлению к  i-му столбцу матрицы M ее  j-го столбца, умноженного на число λ.

      Примеры элементарных неунитарных матриц:

      Примеры неунитарных матриц:

Элементарные преобразования матриц

Элементарные матрицы перестановок и масштабирования, а также элементарная неунитарная матрица называются элементарными матрицами.       Последовательное умножение любой такой матрицы на заданную матрицу A слева (справа) называется левосторонним (правосторонним) элементарным преобразованием матрицы A.       Алгоритмы решения целого ряда задач включают в себя (в качестве составных элементов) элементарные преобразования матриц, к числу которых относятся:

1. умножение строки или столбца матрицы на ненулевое число;

2. перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;

3. прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, предварительно умноженной на произвольный коэффициент;

4. прибавление к некоторому столбцу матрицы другого ее столбца, предварительно умноженного на произвольный коэффициент.

      Любое элементарное преобразование может быть реализовано умножением данной матрицы (слева или справа) на соответствующую элементарную матрицу.

1. Пусть  R_i (λ) – матрица масштабирования (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка заменой единицы в i-ой строке числом  λ):

   (1)

2. Тогда результатом умножения слева матрицы  R_i (λ) на матрицу

   (2)

3. является матрица, полученная из исходной матрицы  A  умножением ее  i-ой строки на число  λ:

   (3)

4. Например,

   (4)

5. Аналогично, чтобы умножить i-ый столбец матрицы  A  на число  λ, достаточно умножить матрицу  T_i  справа на матрицу  A. В частности,

(5)

6. Пусть  P_i j – матрица перестановок (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка перестановкой  i-ой и  j-ой строк):

   (6)

7. Тогда результатом умножения слева матрицы  P_i j  на матрицу

   (7)

8. является матрица, полученная из исходной матрицы  A  перестановкой местами ее  i-ой и  j-ой строк:

   (8)

9. Например,

   (9)

10. Умножение матрицы  P_i j  справа на матрицу

    (10)

11. приводит к матрице

    (11)

12. полученной перестановкой местами i-го и j-го столбцов матрицы  A.

13. Чтобы прибавить к  i-ой строке матрицы A ее  j-ую строку, умноженную на число λ, достаточно умножить матрицу A справа на элементарную неунитарную матрицу .

14. Чтобы прибавить к  i-му столбцу матрицы A ее  j-ый столбец, умноженный на число λ, достаточно умножить матрицу A слева на элементарную неунитарную матрицу .