Свойства матричных операций

Предположим, что размеры матриц A, B и C таковы, что соответствующие операции сложения и умножения определены.       Свойства, связанные с суммированием матриц непосредственно вытекают из определения суммы матриц.

1. Для любой матрицы A существует противоположная матрица (– A ),

A + (–A) = A – A = 0,

где 0 – матрица, составленная из нулевых элементов.

2.      A + B = B + A

3.      (A + B) + C = A + (B + C)

4.       λ (A + B) = λ A + λ B       (λ – произвольное число.)

Свойства, связанные с умножением матриц. ( λ и μ – произвольные числа; A, B и C – матрицы.)

1.       λ (AB) = (λ A) B = A (λ B)

2.       (AB)C = A(BC)                       

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены. Тогда

(AB)C = A(BC).

Доказательство. По определению,  i, j-тый элемент произведения матрицы (A B) и матрицы C равен

Учитывая, что

получаем

Изменим порядок суммирования:

Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов i и j означает равенство матриц.

Свойства, связанные с суммой и произведением матриц ( λ – произвольное число; A и B – матрицы.)

1.       A(B + C) = AB + AC                 

Предположим, что размерности матриц таковы, что соответствующие операции сложения и умножения матриц определены. Тогда

A(B + C) = AB + AC.

Доказательство. Рассмотрим элемент, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы  A (B + C) .

Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов i и j означает равенство матриц.

2.       (A + B)C = AC + BC                 

Предположим, что размерности матриц таковы, что соответствующие операции сложения и умножения матриц определены. Тогда

(A + B) C = A C + B C .

Доказательство. Рассмотрим элемент, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы  (A + B) C .

3. Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов i и j означает равенство матриц.

Пример: Прямым вычислением убедиться в справедливости свойства  (AB)C = A(BC), если

        и     

Решение

Диагональные матрицы

  В квадратной матрице элементы ( i = 1, 2, ..., n ) образуют главную диагональ и называются диагональными элементами. Главная диагональ проходит из левого верхнего угла матрицы в ее правый нижний угол.

(1)

      Совокупность элементов, расположенных на диагонали, проходящей из правого верхнего угла в левый нижний угол, называется побочной диагональю.       Матрица , все внедиагональные элементы которой равны нулю, называется диагональной. Другими словами, элементы диагональной матрицы удовлетворяют условиям

(2)

      Для записи подобных выражений удобно использовать дельта-символ Кронекера, определяемый формулой

(3)

      Очевидно, что дельта-символ симметричен относительно перестановки индексов:

δi j = δj i .

(4)

      Другое важное свойство дельта-символа  δ_i j  заключается в том, что он снимает суммирование в выражениях вида

(5)

      В частности,

(6)

      В этих обозначениях формула (2) принимает вид

(7)

      Очевидно, что при умножении прямоугольной матрицы A справа на диагональную матрицу с диагональными элементами λ₁, λ₁, ..., λ_n первый столбец матрицы A умножается на число λ₁ , второй - на число λ₂ и так далее.       При умножении матрицы A слева на такую диагональную матрицу каждая строка матрицы A умножается на соответствующее число λ_i.

      Диагональная квадратная матрица с равными диагональными элементами называется скалярной.

Пример 1. Доказать, что произведение диагональных матриц есть диагональная матрица. Доказательство: Пусть – произвольные диагональные матрицы  n-го порядка. Рассмотрим  i,j-ый элемент матричного произведения AB: . Выражение в правой части этого равенства представляет собой матричный элемент диагональной матрицы.

***

Пример 2. Доказать, что коммутатор диагональных матриц равен нулю. Доказательство: Пусть – произвольные диагональные матрицы  n-го порядка. Рассмотрим  i,j-ый элемент матричного произведения BA: . Учитывая, что произведение диагональных матриц есть диагональная матрица (см Пример 1), заключаем, что произведение диагональных матриц коммутативно:  AB = BA.

***

Пример 3. Сумма     содержит только одно ненулевое слагаемое, поскольку  δi 3 = 1  при  i = 3  и  δi 3 = 0  для всех других значений  i. Следовательно,

***

Пример 4. Сумма     содержит только нулевые слагаемые, поскольку  δi 120 = 0  для всех  1 ≤ i ≤ 100. Следовательно,

***

Пример 5.