Единичная матрица
Диагональная
матрица, все диагональные элементы
которой равны единице (
),
называется единичной
матрицей и обозначается
символом E.
Элементы
единичной матрицы могут быть представлены
с помощью дельта-символа Кронекера:
|
|
(1) |
|
.
В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:
|
. |
(2) |
|
Действительно, пусть – произвольная матрица размера m×n. Рассмотрим i,j-ый элемент матричного произведения AE, где E – единичная матрица n-го порядка. Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,
|
|
(3) |
|
для любых допустимых значений индексов i,j и, следовательно, AE = A.
Рассмотрим теперь i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица m-го порядка:
|
|
(4) |
|
Попарное равенство матричных элементов для всех i,j влечет за собой равенство соответствующих матриц: EA = A.
Пример 1. Пусть - матрица второго порядка с произвольными элементами. Покажем непосредственным вычислением, что матрица вида играет в матричной алгебре роль единицы.
|
***
Пример 2.
Пусть Решение Заметим, что в качестве единичной матрицы в произведении EA должна быть выбрана матрица второго порядка, тогда как в произведении AE под единичной матрицей следует понимать матрицу третьего порядка.
|
– произвольная 2×3
матрица.
Проверить прямым вычислением,
что матрица A
не изменяется при умножении справа и
слева на единичные матрицы соответствующих
порядков.
***
Пример 3.
Пусть
Решение
|
Убедиться прямым вычислением в
справедливости свойства
***
Пример 4. Даны матрицы Паули:
где i – мнимая единица (i 2 = –1). Показать, что квадрат любой из матриц Паули есть единичная матрица. Решение
|
***
Пример 5.
Пусть
Решение. При переходе к матричной функции f(A), переменную x следует заменить матрицей A, а числовое слагаемое 5 – матрицей 5E, где E – единичная матрица. Следовательно,
|
.
Найти f (A),
если
Нулевая матрица
Нулевая матрица содержит только нулевые элементы,
В системе матриц, 0-матрица обладает теми же свойствами, что и обычный нуль. Например, для любой матрицы A
Эта аналогия, однако, не является абсолютной. Если, в частности, произведением матриц является нулевая матрица, то это не означает, что хотя бы один из сомножителей является нулевой матрицей. Например,
Отметим, что для каждого размера m×n существует своя 0-матрица.
Пример 1. Очевидно, что
|
***
Пример 2.
Пусть
Решение
Такимм образом, A3 является нуль-матрицей. |
матрица
треугольного вида с нулевыми
диагональными элементами. Найти
A3.
***
Пример 3. Рассмотрим матрицы Паули:
где i – мнимая единица (i 2 = –1). Показать, что антикоммутатор любой пары матриц Паули есть нуль-матрица. Решение
|
