Умножение строки на столбец

Пусть – матрица-строка размера  1×n, и пусть – матрица-столбец размера  n×1. (Иначе говоря, пусть число элементов в строке матрицы A совпадает с числом элементов в столбце матрицы B.)       Тогда произведением AB называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих матричных элементов:

(1)

Формула (1) называется правилом умножения строки на столбец.

      Если матрица A содержит  m  строк, а матрица B –  n  столбцов, то произведениt AB представляет собой  m×n  матрицу, i,j-ый элемент которой вычисляется по правилу умножения  i-ой строки матрицы A на  j-ый столбец матрицы B. Например, при умножении двухстроковой матрицы на матрицу-столбец каждая из строк (A₁ и A₂) матрицы  A  поочередно умножается на столбец  B.       Результатом произведения  AB  является матрица размера  2×1:

Пример 1. Пусть     и    . Тогда и

***

Пример 2. Матричное уравнение определяет систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными: Коэффициенты при неизвестных пронумерованы двумя индексами, первый из которых можно интерпретировать как номер уравнения, а второй – как номер соответствующей переменной.

***

Пример 4. Пусть A – матрица размера  1×n, и пусть B – матрица размера  n×1. Тогда произведение AB представляет собой число (матрицу размера 1×1), тогда как произведение BA – квадратную матрицу n-го порядка:

Произведение матриц

Пусть –  m×l  матрица и пусть –  l×n  матрица.       Тогда произведением AB называется матрица размера  m×n , элементы которой вычисляются по правилу умножения  i-ой строки матрицы A на  j-ый столбец матрицы B:

		(1а)
		(1б)

      Если обозначить строки матрицы A символами , а столбцы матрицы B – символами , то правило (1) матричного умножения можно представить в следующем блочном виде:

(2)

      Таким образом, если матрица  A  содержит  m  строк, а матрица  B  содержит  n-столбцов, то произведение  AB  представляет собой матрицу  С  размера  m × n. Элемент , стоящий в  i-ой строке и  j-ом столбце матрицы  AB, вычисляется по правилу умножения строки на столбец:  i-ая строка матрицы  A  умножается на  j-ый столбец матрицы  B.       Операция матричного умножения определена только для матриц, удовлетворяющих определенным условиям:

• Произведение AB определено, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. (Другими словами, число элементов в строке матрицы  A  должно совпадать с числом элементов в столбце матрицы  B.)

• Произведение BA определено, если число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы A.

      Отметим, что в общем случае произведение матриц некоммутативно, то есть  AB ≠ BA. Более того,

• Существование одного из произведений (AB или BA) не влечет за собой существование другого.

• Если определено каждое из таких произведений, то размеры матриц AB и BA не обязательно совпадают друг с другом. Например, результатом умножения матрицы  A  размера  1×n  на матрицу  B  размера  n×1  является число (то есть матрица размера  1×1), тогда как произведение  BA  представляет собой квадратную матрицу  n-го порядка.

• Если матрицы A и B являются квадратными маирицами  n-го, то и их произведения AB и BA являются матрицами такого же порядка. Однако даже для таких матриц их произведения в одном и другом порядках равны только в некоторых частных случаях.

• Произведение нескольких матриц, расположенных в определенном порядке, однозначно определено, если число столбцов каждой матрицы равно числу строк соседней матрицы справа. В этом случае для нахождения произведения матриц можно использоать произвольный порядок расстановки скобок (см Свойства матричных операций).

      Разность  AB – BA  произведений квадратных матриц одного и того же порядка называется коммутатором матриц.       Сумма  AB + BA  произведений квадратных матриц одного и того же порядка называется антикоммутатором матриц.

      Символическая запись означает произведение двух одинаковых квадратных матриц:       Аналогичным образом определяются другие целые положительные степени квадратной матрицы:

.

(3)

      Правило (1) матричного умножения сохраняет свой вид и в том случае, когда элементами матриц A и B являются другие матрицы. Пусть, например, матрицы A и B представлены в виде

(4)

где  A_i j  и  B_i j  – некоторые матрицы, размеры которых таковы, что соответствующие матричные произведения определены.       Тогда

		(5)
Пример 1. Найти коммутатор матриц     и   Решение: и Тогда

***

Пример 2. Найти A2010, если   Решение: …

***

Пример 3. Пусть - матрица второго порядка с произвольными элементами. Покажем непосредственным вычислением, что матрица вида играет в матричной алгебре роль единицы. Действительно,

***

Пример 4. Аналогично, матрица не изменяется при умножении слева или справа на матрицу  :

***

Пример 5. В условиях Примера 1 найти антикоммутатор матриц A и B. Решение:

***

Пример 6. Пусть Показать, что Решение: ...