Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований

Предположим, что матрица  A  - неособенная и рассмотрим метод нахождения обратной матрицы, основанный на элементарных операциях над строками.       В данном контексте под элементарными преобразованиями понимается:

1.   Умножение строки на любое ненулевое число.

2.   Прибавление к одной строке любой другой, предварительно умноженной на любое число.

      Алгоритм метода чрезвычайно прост по своей сути.

      Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы  E:

      Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица (A | E) преобразуется к виду (E | B).       С формальной точки зрения такие преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц (матрицы перестановки, матрицы масштабирования, неунитарной матрицы):

TA = E.

      Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы A:

 T = A^-1.

      Тогда  TE =  A^-1  и, следовательно,

A^-1= B

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение.  Преобразуем расширенную матрицу:

Вычтем из первой строки удвоенную вторую строку:

Затем вычтем первую строку из второй строки:

Разделим вторую строку на 2:

Следовательно,

Проверка: