Лемма 2

Пусть  A – квадратная матрица  n-го порядка.

      Утверждение. Если det A0, то

(3)

где  E  – единичная матрица.

      Доказательство. Запишем равенства (3) в терминах матричных элементов:

(4)

      Это означает, что

(5)

      Предположим, что ij. Тогда согласно Лемме 1

и

      Мы показали, что результатом умножения (в том или ином порядке) матрицы  A  и присоединенной матрицы adj A является диагональная матрица. Остается доказать, что все диагональные элементы этой матрицы равны det A:

      Этот результат становится очевидным, если воспользоваться теоремами о разложении определителя по элементам строки и столбца:

и

Теорема об обратной матрице

Теорема. Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы. Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:

Доказательство.

1. Предположим, что для матрицы  A существует обратная матрица A^-1. Тогда AA^-1=E.

Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем det A det A ^-1=1 и, следовательно, det A0.

Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.

2. Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, A ^-1и B ^-1.

Тогда AA^-1=A^-1A=E и AB^-1=B^-1A=E.

Используем эти равенства для преобразования матрицы B ^-1:

B ^-1= B^-1E ^-1= B^-1AA^-1= (B^-1A)A^-1= EA^-1 = A

что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.

3. В соответствии с Леммой 2

Следовательно,

Примеры:

1.  Найти обратную матрицу для матрицы .     Решение. Вычислим определитель матрицы: Поскольку , то обратная матрица существует. Далее найдем алгебраические дополнения всех элементов:         ,       . Составим присоединенную матрицу : Таким образом, Проверка

***

2.  Найти обратную матрицу для матрицы     Решение.  Вычисляем определитель: Матрица A является сингулярной и, следовательно, обратная матрица не существует.

***

3.  Найти обратную матрицу для матрицы      Решение.      1)  Для вычисления определителя прибавим ко второй строке удвоенную первую; затем разложим определитель по элементам второго столбца:      2)  Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:                               Составим присоединенную матрицу : Делением присоединенной матрицы на  det A получаем обратную матрицу: Проверка: Аналогично,

***

3.  Даны матрицы  и . Решить матричное уравнение                 (*)      Решение.  Поскольку , то матрица  A  является неособенной и существует обратная матрица . Умножим обе части уравнения (*) на матрицу  справа: Составим присоединенную матрицу : Следовательно, Тогда Проверка: