Понятие определителя

Пусть  A = || a_i j || – произвольная квадратная матрица n-го порядка, и пусть {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}– некоторая перестановка упорядоченного множества S={1,2,3,...,n}первых  n  натуральных чисел. Составим произведение a_1k1a_2k2...a_nkn, (1)

содержащее  n  элементов, в котором каждая строка и каждый столбец матрицы  A  представлены одним и только одним из своих элементов. Например, первый сомножитель в этом произведении является элементом первой строки и  k₁-го столбца, второй сомножитель представляет вторую строку и  k₂-ой столбец и так далее. Согласно Теореме 2, существует  n!  различных перестановок {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}, каждой из которых соответствует произведение вида (1) и, следовательно, существует  n!  различных произведений такого типа. Сопоставим каждому из полученных произведений знак плюс или минус – в зависимости от четности или нечетности перестановки {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}. Чтобы формально описать такое сопоставление, введем число инверсий в перестановке {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}, которое обозначим символическим выражением P{k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}.       Заметим, что

(2)

      Алгебраическая сумма всех возможных произведений вида

(3)

      называется определителем (или детерминантом) матрицы A:

(4)

      Для записи определителя используется также обозначение в виде массива матричных элементов в вертикальных скобках:

(5)

      Представляется уместным отметить некоторые важные обстоятельства, относящиеся к понятию определителя матрицы:

1. В формуле (4), выражающей собой определение det A, строки и столбцы матрицы A представлены равноправно. Лишь для удобства изложения первый элемент в произведении (3) выбирался из первой строки, второй элемент – из второй строки и так далее. В результате суммирования по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы, выражение (4) включает в себя все произведения рассматриваемого типа, представленные в определенной последовательности. Формальное равноправие строк и столбцов в определении det A можно выразить следующим эквивалентным выражением:

   .

   (6)

2. Число четных перестановок {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}в сумме (4) совпадает с числом нечетных перестановок и равно n!/2.

3. Определитель является одной из важнейших характеристик матрицы. При этом наиболее существенным часто оказывается не его конкретное числовое значение, а сам факт его равенства нулю или отличия от нуля. Например, матрица A имеет обратную лишь в том случае, когда det A  0 (что будет доказано в одном из ближайших разделов).

4. Не следует путать определитель матрицы с самой матрицей: Матрица представляет собой массив чисел, тогда как определителем матрицы является одно единственное число.