Линейная алгебра Операции над матрицами Понятие матрицы

Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.

      Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.

      Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:

(1)

      Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется  m×n  матрицей (“эм на эн матрицей”) или матрицей размера  m×n. Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.

Рис. 1. Порядок нумерации строк и столбцов матрицы.

      Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде  a_i j , а выражение  A = || a_i j ||  означает, что матрица A составлена из элементов  a_i j .

      Матрица     размера  1×n  называется строчной или вектор-строкой.

      Матрица     размера  n×1  называется столбцевой или вектор-столбцом. Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.

      Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера  n×n. Такие матрицы называются квадратными. При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер  3×3.

      Квадратная матрица порядка 1 отождествляется с единственным ее элементом.

Пример: Размер матрицы

Числовая 3×2 матрица	Числовая 2×3 матрица	Функциональная матрица второго порядка

Линейные операции

Равенство матриц Матрицы  A = || a_i j ||  и  B = || a_i j ||  считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:

(1)

для любых допустимых значений индексов  i  и  j. К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число). Умножение матрицы на число При умножении матрицы  A  на число  λ  (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:

(2)

Сложение матриц Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц  A = || a_i j ||  и  B = || b_i j ||  является матрица  C = || c_i j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

(3)

Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида   , где     и   – числовые коэффициенты.

Пример 1. Матрицы     и     составлены из одних и тех же элементов, но имеют различные размеры. Следовательно,  A ≠ B.

***

Пример 2. Матрицы     и     составлены из одних и тех же элементов и имеют одинаковые размеры. Однако не все соответствующие матричные элементы попарно равны. Следовательно,  C ≠ D.

***

Пример 3. Если    ,   то     .

***

Пример 4. Пусть     и   Тогда

***

Пример 5. Вычислим линейную комбинацию  2A – 3B  матриц A и B в условиях предыдущего примера:

***

Пример 6. Матричное уравнение равносильно системе двух линейных уравнений: