3.3. Случайные погрешности. Вероятностное описание

Отличающиеся друг от друга результаты измерений, проведенные с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины, свидетельствуют о наличии в них случайных погрешностей. Каждая такая погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат наблюдения многих случайных возмущений и сама является случайной величиной. В этом случае предсказать результат отдельного наблюдения и исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов от х_min до х_max. Однако остается неясным, какова вероятность появления того или иного значения погрешности.

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают интегральную и дифференциальную формы описания закона распределения. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины или частости появления того или иного результата измерения. При определении результата измерения используют, в основном, равномерное распределение, нормальное распределение и распределение Стьюдента.

3.3.1. Равномерное распределение

Интегральное выражение функции распределения:

.

Дифференциальное выражение функции распределения (рис. 12):

, .

Основные характеристики равномерного распределения:

- математическое ожидание:

,

- дисперсия:

,

- среднеквадратичное отклонение:

,

- коэффициент вариации:

.

Рис. 12 Равномерное распределение случайной величины

3.3.2. Нормальное распределение

Нормальное распределение задаётся интегральной функцией или плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) (рис. 13):

;

.

Для нормального распределения основные характеристики равны:

, , .

Рис. 13. Нормальное распределение случайной величины

Основные характеристики нормального распределения:

- математическое ожидание:

,

- дисперсия:

,

- среднеквадратичное отклонение:

- коэффициент вариации:

.

3.3.3. Распределение Стьюдента

Распределением Стъюдента (t-распределение) называется распределение случайной величины t:

,

где Z – случайная величина, распределенная по стандартому нормальному закону.

х² – независимая от Z случайная величина, имеющая распределение с k степенями свободы.

Плотность вероятности распределения Стъюдента имеет вид (рис. 14):

г де Г(у) – гамма-функция в точке у.

Рис.14. Кривая распределения Стъюдента

Кривая распределения Стъдента симметрична относительно оси ординат, но по сравнению с нормальной кривой более пологая.

При k → ∞ t-распределение приближается к нормальному. Практически уже при при k > 30 можно считать t-распределение приближенно нормальным.

Математическое ожидание случайной величины, имеющей t-распре-деление, в силу симметрии ее кривой распределения равно нулю:

M (t) = 0.

Дисперсия t-распределения равна: