Резонанс напряжений

Цель работы - экспериментально проверить основные теоретические положения, характеризующие резонансные явления в линейных электри­ческих цепях при последовательном соединении резистора, катушки индуктивности и ёмкости.

Краткие теоретические сведения

Резонансом называют такой режим пассивной цепи, содержащей катушки индуктивности и конденсаторы, при котором ее входное реактивное сопротивление или ее входная реактивная проводимость равны нулю, т.е нагрузка цепи носит чисто активный характер. При резонансе ток источника, если он отличен от нуля, совпадает по фазе с напряжением источника. Рассмотрим последовательное соединение идеальных элементов – резистора, индуктивности и емкости (рис.2.1.).

Рис.2.1

На основании второго закона Кирхгофа уравнение для мгновенных значений имеет вид:

или (2.1)

При синусоидальном напряжении источника уравнение (2.1) в символической форме записи имеет вид:

или (2.2)

Тогда комплекс тока:

где = - комплексное сопротивление цепи. – угол сдвига фаз между напряжением и током на входе цепи.

Ф изическая сущность резонанса напряжений заключается в том, что равны реактивные составляющие напряжения катушки и конденсатора, т.е . Для рассматриваемой цепи (рис.2.1) резонанс наступит при условии, когда X = X_L-X_C=0 или Х_L=Х_С или .

Модуль тока где - модуль полного сопротивления цепи.

Полное сопротивление цепи Z при резонансе напряжений минимально­: , тогда ток I при заданном напряжении U достигает наибольшего значения . Следовательно, условием резонанса напряжений является равенство реактивных сопротивлений: ,или Из этого следует, что резонанса напряжений можно достичь изменением угловой частоты источника питания , индуктивности L или ёмкости C. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой:

Наиболее просто достичь резонанса можно изменением ёмкости, тогда

.

В зависимости от соотношения величин x_L и x_С возможны три различны режима работы цепи.

1. В цепи преобладает индуктивное сопротивление, т.е. , а, следовательно, и . Нагрузка цепи носит активно-индуктивный характер. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2.2, а (нагрузка RL).

2. В цепи преобладает емкостное сопротивление, т.е. , а, следовательно, и . Нагрузка цепь носит активно-емкостный характер. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2.2, б (нагрузка RC).

3. В цепи индуктивное сопротивление равно емкостному, т.е. , а, следовательно, и . Так как напряжения и , находящиеся в противофазе и полностью компенсируют друг друга, то напряжение на активном сопротивлении оказывается равным напряжению источника, и ток цепи совпадает с ним по фазе. Этот режим называется резонансом напряжений, ему соответствует векторная диаграмма на рис. 2.2, в (нагрузка R).

Е сли рассматривать реальную катушку, содержащую R_K и L, то в момент резонанса равны реактивные составляющие напряжения катушки и конденсатора,

Н апряжение источника равно активной составляющей напряжения катушки:

В зависимости от соотношения сопротивлений (R< напряжения на индуктивности и емкости при резонансе могут значи­тельно превышать напряжения на зажимах цепи. Это определяется добротностью контура Q.

Отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению, приложенному к цепи, при резонансе называют добротностью контура.

_{В полученное выражение подставим выражение резонансно у}гловой частоты: _.

_{Получим:}

,

_где - волновое (характеристическое) сопротивление контура.

Величину обратную добротности называют затуханием . Доброт­ность показывает во сколько раз напряжение на индуктивности или на ем­кости при резонансе больше, чем напряжение, приложенное к цепи. При d<1 в цепи наступают перенапряжения на индуктивном и ёмкостном элементах т.е.

Энергетические процессы при резонансе интересны тем, что сумма энергий магнитного и электрического полей цепи W = W_M + W₃ = const остается постоянной с течением времени. Уменьшение энергии электриче­ского поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля и на­оборот. Таким образом, наблюдается непрерывное преобразование энергии от электрического поля в магнитное поле и наоборот.

Мгновенная энергия магнитного и электрического полей выражается формулами:

и

Если принять , то (отстает на 90⁰).

Получим:

и

Максимальное значение этих энергий равны между собой:

Мнгновенные значения и колеблются с удвоенной частотой около среднего значения, причем происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарные значения которого постоянны.

_{Пусть напряжение u(t) и i (t) изменяются по синусоидальному закону в виде:}

_{Тогда падение напряжения на элементах R,L,C запишутся в виде:}

Выражения для мгновенных мощностей можно записать в виде:

_{Мгновенная мощность на конденсаторе и катушке:}

Как видно из полученного выражения реактивная мощность колеблется с двойной частотой и среднее значение за период равно нулю.

Суммарная мгновенная мощность цепи запишется в виде:

_{Суммарная мгновенная мощность за период равна активной мощности на участке сопротивлением r .}

Энергия, поступающая в цепь от источника питания, в любой момент времени при резонансе целиком выделится на R, поэтому для источника питания вся цепь эквивалентна одному активному сопротивлению.

Из теории колебаний известно, что резонансным называется процесс совпадения вынужденных колебаний с частотой собствн­ных колебаний системы, при этом интенсивность колебаний максимальна (амплитудный резонанс). Для принятого ранее критерия резонанса (совпа­дение по фазе тока и напряжения на входе цепи) резонанс возможен и в тех случаях, когда вследствие большого сопротивления колебания невоз­можны. Такой резонанс называют фазовым.