5. Асимптоты графика функции

Опр.: Асимптотой графика функции называют прямую, обладающую следующим свойством: расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат, т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности.

Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а равен бесконечности, т.е.

или .

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции , если или .

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции , если существуют одновременно конечные пределы

и

(или и ).

Пример: Для функции прямые х = - 1, х = 1 являются вертикальными асимптотами, т.к. , ; прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой, т.к. .

Для функции прямые х = - 2, х = 2 являются вертикальными асимптотами, т.к. , ; прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой, т.к. .

Для функции прямая является наклонной асимптотой, т.к. , .

6. Схема исследования функции

1). Найдите область определения функции.

2). Исследуйте функцию на чётность и нечётность, при необходимости – на периодичность.

3). Исследуйте функцию на непрерывность; найдите точки разрыва (если они существуют), установите характер разрыва.

4). Найдите асимптоты графика функции .

5). Найдите точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

6). Найдите точки экстремума и интервалы монотонности функции.

7). Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости. Найдите значения функции в точках перегиба.

8). Постройте график функции.

Пример: Провести полное исследование и построить график функции

.

Решение: 1) Область определения функции: .

2) , поэтому функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная); не периодическая.

3) Функция непрерывна при . При терпит разрыв 2-го рода, т.к. .

4). Найдём асимптоты: прямая - вертикальная асимптота;

горизонтальной асимптоты нет;

,

= = =

= = прямая - наклонная асимптота.

5) y = 0 при x = 0 точка (0, 0) - точка пересечения графика функции с осями координат;

При функция отрицательна; при положительна.

6) Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции.

= 0 x = 0 x = -3;

(x) > 0, при на этих интервалах функция возрастает;

(x) < 0, при на этом интервале функция убывает.

х = -3 – точка максимума; ; точка х = - 1 не может являться точкой минимума, т.к. в ней функция не определена.

7). Найдём точки перегиба и интервалы выпуклости.

= 0 x = 0;

< 0 при на интервалах кривая выпукла вверх;

> 0 при на интервале кривая выпукла вниз (вогнута).

Точка х = 0 является точкой перегиба; f (0) = 0.

График функции представлен на рис. 2.

Рис. 2. График функции

Пример: Провести полное исследование и построить график функции .

Решение: 1) Область определения функции: .

2) , поэтому функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная); не периодическая.

3) Функция непрерывна при . При терпит разрыв 2-го рода, т.к. , .

4). Найдём асимптоты: прямая - вертикальная асимптота;

прямая у = 1 - горизонтальная асимптота;

= , =

наклонная асимптота вырождается в горизонтальную: у = 1.

5) точек пересечения графика с осью OХ нет, т.к. y 0 ;

y = при x = 0 точка (0, ) - точка пересечения графика функции с осью ОY; y > 0 .

6) Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции.

< 0 ,

поэтому точек экстремума нет, функция убывает на всей области определения.

7). Найдём точки перегиба и интервалы выпуклости.

= 0 x = 0,5;

< 0 при на интервале кривая выпукла вверх;

> 0 при на интервалах кривая выпукла вниз (вогнута).

Точка х = 0,5 является точкой перегиба; f (0,5) = .

График функции представлен на рис. 3.

Рис. 3. График функции

Контрольные вопросы:

1. Как найти промежутки монотонности функции?

2. Дайте определение экстремума функции. Поясните схему нахождения локального экстремума функции.

3. Как найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке? В чем разница между точками глобального максимума (минимума) и локального максимума (минимума)?

4. Дайте определение функции выпуклой вниз (вверх). Что называется точками перегиба? Как исследовать функцию на предмет выпуклости и точек перегиба?

5. Дайте определение асимптоты графика функции. Перечислите и охарактеризуйте все виды асимптот. Приведите примеры.

6. Какова схема исследования функции?

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.