Значений функции на отрезке:
1). Найдите производную .
2). Найдите критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.
3).
Найдите значения функции в критических
точках и на концах отрезка, выберите из
них наибольшее
и наименьшее
.
Пример:
Найти наименьшее и наибольшее значения
(определить глобальные экстремумы)
функции f
(x)
= x2
ln
x,
если
.
Решение: 1). Найдём производную:
.
2).
Найдём критические точки функции:
=
0
=
0
x1
= 0
;
.
2).
Найдём значения функции на концах
отрезка (в точках х
= 1, х
= е):
;
.
.
Таким
образом, наибольшим значением (глобальным
максимумом) функции f
(x)
= x2
ln
x
на отрезке
является число
,
наименьшим значением (глобальным
минимумом) - 0.
4. Выпуклость функции
Опр.: График функции имеет на интервале выпуклость вверх (вниз), если на этом интервале график расположен не выше (не ниже) касательной к графику функции, проведённой в любой точке этого интервала.
Теорема (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.
Опр.:
Точка
называется точкой
перегиба
графика функции
,
если в точке М
график имеет касательную и существует
такая окрестность точки
,
в пределах которой график функции
имеет разные направления выпуклости.
В точке перегиба касательная пересекает график функции, т.к. он переходит (перегибается) с одной стороны касательной на другую.
Теорема
(необходимое
условие существования точки перегиба).
Если в точке
график функции
имеет точку перегиба, а сама функция
имеет непрерывную вторую производную,
тогда
в
точке
равна нулю, т.е.
=
0.
Опр.: Точки графика функции , в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками 2-го рода.
Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Если в некоторой окрестности точки вторая производная функции имеет разные знаки слева и справа от , то график функции имеет перегиб в точке .
Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:
1).
Найдите вторую производную
.
2). Найдите критические точки 2-го рода функции, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
3). Исследуйте знак второй производной слева и справа от каждой критической точки и сделайте вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
4). Найдите значения функции в точках перегиба.
Пример: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f (x) = x3 – 3x2 + 1.
Решение: 1). Найдём вторую производную
.
2).
Найдём критические точки 2-го рода:
x
= 1.
3). Исследуем знак второй производной.
<
0 при
на интервале
кривая выпукла вверх;
>
0 при
на интервале
кривая
выпукла вниз (вогнута). Точка х
= 1 является точкой перегиба.
4). Найдём значение функции в точке перегиба: f (1) = -1;
(1; -1) – координаты точки перегиба (рис.1).
Рис. 1. График функции f (x) = x3 – 3x2 + 1.