Методические указания к проведению лекционного занятия Темы № 3.4.-3.5. Исследование функции с помощью производной. Экстремум функции одной переменной

План:

1. Промежутки монотонности функции.

2. Экстремум функции.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

4. Выпуклость функции.

5. Асимптоты графика функции.

6. Схема исследования функции .

1. Промежутки монотонности функции

Теорема (Признак монотонности функции). Если функция дифференцируема на интервале и ( ) , то функция не убывает (не возрастает) на данном интервале.

При или имеем признак строгой монотонности, т.е. функция возрастает или убывает.

Пример: Исследовать на монотонность функцию f (x) = x³ (x + 2)².

Решение: 1) Область определения функции: D( f ) = R.

2). Находим производную:

= 3x²(x + 2)² + x³ · 2(x + 2) = x²(x + 2)(3x + 6 + 2x) = x²(x + 2)(5x + 6).

3). Приравняем производную к нулю и решим уравнение = 0:

x²(x + 2)(5x + 6) = 0 x₁ = 0; x₂ = -2; .

4). Нанесём полученные значения на числовую ось и методом интервалов установим знаки производной

+

+

+

-

-2 0

5). По признаку монотонности получим: функция возрастает при ; функция убывает при .

2. Экстремум функции

Опр.: Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для любого в некоторой окрестности точки выполнено неравенство ( ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась нулю ( = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными).

Теорема (достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума функции , а если с минуса на плюс, то – точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум:

1). Найдите производную .

2). Найдите критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

3). Исследуйте знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделайте вывод о наличии экстремумов функции.

4). Найдите экстремумы функции.

Пример: Исследовать на экстремум функцию f (x) = x³ (x + 2)².

Решение: В предыдущем примере уже найдены производная, критические точки функции и исследован знак производной слева и справа от каждой критической точки. Откуда делаем следующий вывод: x₂ = -2 – точка максимума; – точка минимума. В точке x₁ = 0 экстремума нет. Находим ;

.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

При решении различных прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и глобального минимума) функции на промежутке Х.

По теореме Вейерштрасса: если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значения. Причём из формулировки теоремы следует, что наибольшее и наименьшее значения могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего