Производная обратной функции

Пусть функция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀ и имеет производную в этой точке

.

Тогда существует производная обратной функции в соответствующей точке , причём

,

или

, т.е. (11)

Известно, что для функций , обратными являются соответственно функции

. С помощью формулы (11) можно вывести производные для указанных обратных функций, зная производные исходных функций.

Например, функция является обратной для , . Учитывая, что при , по формуле (11) имеем

,

или .

Производная функции, заданной в параметрическом виде

Пусть функция задана в параметрическом виде: . Если функции и имеют производные в точке , функция непрерывна и строго монотонна в окрестности этой точки и , то существует производная функции в точке , причём

. (12)

Пример. Найти производную функции, заданной в параметрическом виде , , и вычислить её значение в точке М(1,1).

Решение. По формуле (12) получим

.

Найдем значение параметра , соответствующее точке М(1,1). Так как при при , то . Вычислим искомое значение производной:

.

Пример. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями .

Решение. По формуле (12): .

Производная неявной функции

Пусть функция задана уравнением . Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, затем из полученного уравнения найти производную .

Пример. Найти производную функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Продифференцируем обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, получим: , откуда

.

Контрольные вопросы:

1. Что называется производной функции в точке.

2. Чем отличаются производная функции в точке и производная функции определенной на некотором промежутке?

3. Назовите необходимое условие существования производной.

4. Каковы основные правила дифференцирования.

5. В чем заключаются геометрический и механический смыслы производной функции. Где они могут найти применение?

6. Как находится производная сложной функции?

7. Что называется логарифмической производной функции?

8. Как находится производная обратной функции?

9. Как находится производная функции, заданной параметрически?

10. Как находится производная неявной функции?

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.