Уравнения касательной и нормали к графику функции

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке (рис. 3).

Как известно, уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку , имеет вид . Так как угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной , то уравнение касательной как прямой, проходящей через точку касания , запишется в виде

. (5)

Пример. Записать уравнение касательной к кривой в точке её пересечения с осью Ох.

Решение. Найдём абсциссу точки М пересечения кривой с осью Ох из уравнения . Отсюда . Очевидно, что . Составим уравнения касательной к точке М(1,0). Найдём угловой коэффициент касательной в этой точке, используя формулу 7 (табл. 1): . Запишем искомое уравнение касательной (5) в виде , или .

Нормалью к кривой в заданной точке М называется прямая, проведенная через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в точке М (рис. 3).

Error: Reference source not found

Рис. 3. Касательная и нормаль к графику функции

Выведем уравнение нормали к кривой в заданной точке .

Угловые коэффициенты и двух взаимно перпендикулярных прямых удовлетворяют условию . Так как касательная и нормаль к кривой взаимно перпендикулярны и угловой коэффициент касательной в точке равен , то угловой коэффициент нормали равен . Запишем уравнение нормали как уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку , в виде

. (6)

Пример. Записать уравнение нормали к кривой в точке её пересечения с осью Ох.

Решение. В предыдущем примере найдены точка М(1,0) пересечения данной кривой с осью Ох и угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке, равный . Угловой коэффициент нормали в точке М(1,0) будет равен . Следовательно, уравнение нормали (6) запишется в виде , или .

Производная сложной функции

Пусть даны функции , и на некотором интервале определена сложная функция . Если имеет производную в точке этого интервала, а функция имеет производную в точке соответствующего интервала переменной и, то в точке существует производная сложной функции , причём

. (7)

Замечания. 1). В формуле (7) через обозначена производная функции по переменной х в точке , т.е.

,

через − производная функции f(u) по переменной и в точке , т.е.

,

через − производная функции по переменной х в точке т.е.

.

2). На практике при использовании формулы (3.7) опускают индекс “0” у аргумента и записывают её в виде

(8)

В дальнейшем, если не указана конкретная точка, производная вычисляется при всех допустимых значениях аргумента х. Формула (8) может быть обобщена на любое число промежуточных функций, имеющих производные в соответствующих точках. Так, если , , , то

.

Пример. Найти производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Заданная функция может быть записана в виде , где , . Поэтому

.

б) Запишем данную функцию в виде , где , , .

=

в) ;

г) .

Логарифмическая производная

Логарифмической производной функции называется производная от натурального логарифма модуля этой функции, т.е.

. (9)

Замечание. Формула (9) получена из формулы (7) с учётом равенства . Последнее справедливо, так как при и при .

Из формулы (9) производная у' функции выражается через логарифмическую производную в виде

. (10)

Пример. Продифференцировать функцию

.

Решение. Прологарифмируем заданную функцию и, используя свойства логарифмов, получим

.

Дифференцируем полученное выражение:

.

Используя формулу (10), найдём производную данной функции:

.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Очевидно, что . Тогда

.

Следовательно, .