Правила дифференцирования

Теорема 2. Если существуют производные функций и в точке , то в этой точке существует производная суммы , причём

. (2)

Доказательство. Задав приращение аргументу х в точке , получим приращения , и функций и в этой точке, причем .

Тогда . По свойству предела суммы двух функций имеем

,

т.е. , что и требовалось доказать.

Пример. Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) ;

б) .

Теорема 3. Если существуют производные функций и в точке , то в этой точке существует производная произведения , причем

.

Доказательство. Задав приращение аргументу х в точке , получим приращения , и функций и в этой точке, причем .

Составим отношение

. (3)

В силу необходимого условия существования производной функции (см. теорему 1) имеем при . Кроме того, по условию, предел существует и конечен. Переходя к пределу в равенстве (3.3), получим

.

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Замечание. Если , то , т.е. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Пример. Продифференцировать функцию .

Решение. По теореме 3: .

Теорема 4. Если существуют производные функций и в точке и , то в этой точке существует производная частного , причем

(4)

Доказательство. Задав приращение аргументу х в точке , получим приращения и функций и в этой точке. Соответствующее приращение функции y запишется в виде

.

Имеем . Отсюда, переходя к пределу при , найдем

.

По теореме 1 при . Учитывая это, из последнего равенства получим окончательную формулу (4) для производной частного функций и . Теорема доказана.

Пример. Найти производные функций , .

Решение. Используя теорему 4 и формулы 5 и 9 табл. 1, получим

.

Используя теоремы 2, 3 и 4 и формулы 5, 7, 8 табл. 1, получим

= .

Замечание. Из табл. 1 и правил дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции следует важной вывод: производная любой элементарной функции также представляет собой элементарную функцию. Таким образом, операция дифференцирования не выводит функции из класса элементарных.

Геометрический и механический смыслы производной

Рассмотрим график функции , определенной в окрестности точки (рис. 2).

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей MN при стремлении точки N к точке M по кривой.

Установим геометрический смысл производной .

Error: Reference source not found

B

П о определению

Числа

, , , , ,

геометрически выражают соответственно длины следующих отрезков:

BN, AM, OB, OA, NC, AB (или МС).

Тогда дробь

- отношение катетов прямоугольного треугольника MCN, т.е. тангенс угла .

Если , то точка N стремится к точке М по кривой, причём прямая MN стремится занять положение касательной к кривой в точке М. Имеем

,

где − угол между положительным направлением оси Ox и касательной к кривой в точке М.

Итак, геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции в точке х₀ равна тангенсу угла между положительным направлением оси Ox и касательной к кривой в точке , т.е. угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .

Выясним механический смысл производной.

Пусть материальная точка движется по прямой так, что в каждый момент времени t она находится на расстоянии s(t) от некоторой начальной неподвижной точки О. В этом случае функция определяет закон движения этой точки.

За промежуток времени от момента t до момента точка пройдет путь, равный . Средняя скорость такого движения равна . За истинную скорость движения точки в момент t естественно принять предел средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка времени , т.е.

.

Таким образом, с механической точки зрения производная функции , задающей закон прямолинейного движения точки, равна мгновенной скорости движения точки в момент времени t. В более широком смысле − производная функции в точке равна скорости изменения функции при изменении аргумента в точке .

Пример. Материальная точка движется по закону (м). Определить:

а) среднюю скорость движения точки за первые 3 секунды пути;

б) скорость в момент времени t = 3 c.

Решение. а) Найдём среднюю скорость по формуле

.

При имеем (м/с).

б) Используя формулу 1 табл. 1, определим скорость в момент t = 3 c как значение при t = 3: (м/с).