Методические указания к проведению лекционного занятия Тема № 3.1. Производная функции

План:

1. Определение производной

2. Производные основных элементарных функций

3. Правила дифференцирования

4. Геометрический и механический смыслы производной

5. Уравнения касательной и нормали к графику функции

6. Производная сложной функции

7. Логарифмическая производная

8. Производная обратной функции

9. Производная функции, заданной в параметрическом виде

10. Производная неявной функции

Определение производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если предел существует и конечен, т.е.

, (1)

где .

Иногда производную обозначают не только штрихом, но и указывают в виде нижнего индекса переменную, по которой берется производная, т.е. пишут .

Операция вычисления производной функции называется дифференцированием функции.

Пример. Используя определение, найти производную функции в точке .

Решение. Запишем приращение функции

.

Замечание. Предел (1) в точке может не существовать или быть бесконечным. В этом случае функция не имеет производной в точке . Если предел (1) равен , или , то говорят, что функция имеет бесконечную производную в точке .

Пример. Используя определение, найти производную функции в точках: а) ; б) , если она существует.

Решение. По формуле (1):

а) . Следовательно, .

б) , т.е. в точке не существует конечной производной функции .

Пример. Показать, что функция не имеет производной в точке .

Решение. Известно, что . Найдем

Пределы справа и слева в точке существуют, конечны, но не равны между собой, поэтому предел в точке не существует. Следовательно, функция не имеет производной в этой точке (рис.1).

Рис. 1. График функции

Замечание. Если функция определена на некотором отрезке , то под ее производной в точках и принимают соответственно предел справа или предел слева отношения

при ( ).

Если функция определена на некотором числовом промежутке и существует в каждой точке этого промежутка, то формула

определяет производную как функцию аргумента x (а не число!).

В дальнейшем при дифференцировании функции, если не указана точка, будем находить производную для всех допустимых значений аргумента x и записывать её в виде или .

Производные основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций, полученные исходя из определения (1), представлены в табл. 1.

Такие производные называются табличными, а дифференцирование функций с использованием этой таблицы называется табличным дифференцированием.

Рассмотрим вывод отдельных формул табл. 1.

1) Найдем производную постоянной функции y = С.

Решение. Очевидно, что R. Откуда

, т.е. . Доказали формулу 1 табл. 1 при α = 0.

2) Найдем производную показательной функции , где .

Решение. Имеем

.

Используя формулу (1) и учитывая, что при , получим .

Следовательно, . Доказали формулу 4 табл. 1.

3) Найдем производную логарифмической функции , где .

Решение. Имеем

.

Откуда при :

= .

Используя свойство непрерывности логарифмической функции и второй замечательный предел, получим:

.

Доказали формулу 6 табл. 1.

4) Найдем производную тригонометрической функции .

Решение. По определению производной (1), используя формулу для разности синусов двух углов и учитывая, что при , находим

.

Следовательно, и доказана формула 8 табл. 1.

5) Найдем производную функции .

Решение. Введём обозначения, полагая

.

Тогда . Учитывая, что при , находим

.

Используя формулу тригонометрии для разности косинусов двух углов , эквивалентность при и непрерывность функции при всех R, имеем

Следовательно, , доказана формула 13 табл. 1.

Таблица 1. Таблица производных

№	Функция	Производная
1		R
2
3
4		,
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Замечание. Формулы 2 и 3 являются частными случаями формулы 1 при и соответственно. Формула 5 является частным случаем формулы 4 при а = е. Формула 7 является частным случаем формулы 6 при а = е.

Пример. Продифференцировать функции и .

Решение. Применяя формулу 1 табл. 1 при для функции y₁ и формулу 6 при для функции y₂ соответственно, найдём

Теорема 1. (Необходимое условие существования производной). Если функция имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Утверждение, обратное теореме 1, неверно, т.е. из непрерывности функции в точке х не следует существования производной в этой точке. Так, функция , непрерывная в точке х = 0, не имеет производной в этой точке.