Среднее квадратическое или основное уклонение σ. Нахождение σ способом уклонения и способом сумм

Наилучшей мерой определения размаха или протяженности Вариационного ряда или степени варьирования того или другого Признака в настоящее время считается основное или среднее квадратическое уклонение, обозначаемое буквой σ. (сигма). Для получения этой величины уклонения вариант от средней величины (М), обозначаемые нами буквой а, возводятся в квадрат, перемножаются на их частоты, произведения суммируются, сумма делится на общее число случаев (особей) и из полученного числа извлекается квадратный корень, т. е.

По этой формуле сигму (о) определяют редко, вычисление среднего квадратического уклонения ведут теми же непрямыми способами, как и среднего арифметического, т. е. по уклонениям от А и способом сумм.

С пособ уклонений

σ = √b₂ – b₁²

Пользуемся тем же примером (стр.301), но здесь уклонения а² берутся в квадрате: 1, 4, 9,.....

Числа случаев, уклоняющихся и влево от А, здесь должны иметь также знак плюс, потому что отрицательное уклонение (—а), будучи возведенным в квадрат, становится величиною положительной.

Уклонения (а²) 1 4 9

Частота уклонений (р) +26 +9+7

+13 +6 +1

Алгебраическая сумма частот

уклонений (∑p) +39 +15 +8

Сумма квадратических уклонений от А, помноженных на частоту

(∑pa²): 39 + 60 + 72 = 171,

Возведение в квадрат и извлечение корней квадратных можно вести по специальным таблицам.

Уклонения в квадрате		1	4	9	39
					+60
Простые уклонения		1	2	3	72
Частоты	-	26	9	7
	+	13	6	1	171	100 1,71 b2 = 1.71
Вычислениеb1		-13 – 6 – 18 = - 37/ 100 = - 0.37

При пользовании способом уклонений запись вычисленных величин можно упростить следующим образом. Записав уклонения и частоты обычным порядком (причем плюс и минус не нужно повторять, а ставить их один раз слева от частот) и, высчитав b₁. записываем над простыми уклонениями уклонения в квадрате. Далее проводим справа вертикальную черту и за чертой записываем в виде столбца произведения сумм частот на уклонения в квадрате, помня, что частоты здесь будут со знаком + (плюс). Данные произведения складываем, делим на п. и получаем значение b₂. При такой записи достигается большая экономия времени.

Способ сумм

σ = ±

Пользуемся тем же примером, какой приведен для вычисления средней.

Ci

Σx² (в формуле) означает сумму центральных уклонений (т. е. уклонений от M), равную ; S₁ уже найдено (—37), возведем его в квадрат и, разделив на п, получим

Находим S₂ S₂ = a₁ + с₁ + 2(а₂ + с₂)

а₁ и с₁ нам известны (a₁=28, с₁=65; это—суммы верхней и нижней частей второго столбца); а₂ — сумма верхней части третьего столбца (8+1=9); с₂—сумма нижней части третьего столбца (23+7=30). Таким образом, в числовых выражениях:

S₂ = 28 + 65 + 2 (9 + 30) = 93 + 78 = 171.

Σx²= 171— 13,69 = 157,31.

Для определения о найденное значение Σx² делим на n и из полученного частного извлекаем квадратный корень:

Можно рекомендовать пользоваться при вычислении сигмы комбинированным способом, т. е. соединением обоих способов (способа уклонений и способа сумм). Поясним на примере: Находим S₁и S₂ (по способу сумм), которые по величине всегда будут равны Σра и Σра². После этого можно перейти к нахождению b₁ и b₂(по способу уклонений) и, наконец, по формуле σ=± находим сигму, т. е. среднее квадратическое уклонение:

Практическое значение найденных нами величин: М=20,68 и σ =±1,25 таково.

Типичная величина процентного отношения длины хвостового стебля воблы к длине тела равна 20,68%. Чтобы знать, насколько данная форма в этом признаке уклонилась от средней, типичной, формы, нужно знать протяженность вариационного ряда. Если, например, ряд короткий, то и небольшие отклонения от средней будут иметь большее значение, чем такие же отклонения более протяженного ряда. Сигма и показывает протяженность данного вариационного ряда. Чем меньше σ, тем ряд менее изменчив, т. е. протяженность его меньше. Но математически доказано, что 1σ не может гарантировать протяженность ряда во всех случаях. Поэтому берут не 1σ, а З σ и даже 3,5σ.

При нормальном распределении вариант, идеальным случаем которого является распределение коэффициентов двучлена (бинома), возведенного в какую-либо высокую степень, приближающуюся к бесконечности, вариационный ряд и его графическое изображение — нормальная вариационная кривая имеет строго симметричное построение и в таком ряду в промежутке:

от М до ± 1σ укладывается около 68% случаев

» М » ±2 σ » » 95,5% »

» М » ±3 σ » » 99,7% »

» М » ±3,5 σ » » 99,95% »

Иначе говоря, более чем на 3σ могут уклониться из 100 случаев только три случая. Поэтому, зная одну, две и три сигмы, мы можем определить возможную протяженность нашего конкретного вариационного ряда, следующего закономерности нормального распределения, т. е. можно узнать его крайние варианты. Обратимся к нашему примеру.

Класс: 17,5—18,5—19,5—20,5—21,5—22,5—23,5—24,5 n

Частота 7 9 26 38 13 6 1 100

M=20,68 σ=±l,25 3 σ=±3,75

Следовательно, крайние члены ряда, если основываться на 3σ, должны быть 16,93 (20,68—3,75) и 24,43 (20,68+3,75), т. е. наш первый эмпирический ряд меньше второго теоретического, а это говорит о том, что мы можем встретить воблу, длина хвостового стебля которой может быть меньше той величины, какую мы наблюдали, т. е. не 18, а 17%, но правая сторона ряда и теоретически не превосходит 24%, т. е. с более длинным хвостовым стеблем воблу едва ли встретим. Для большей осторожности лучше брать не 3, а 3,5σ. Рассчитав протяженность ряда по 3,5σ, получим 16,30—25,06; при таком расчислении можно предполагать три новых варианта (16, 17 и 25%).

При небольшом числе наблюдений (менее 25) основное уклонение следует определять по формуле

где сумма квадратических уклонений от М, умноженных на частоту, делится на количество наблюдений без единицы (n—1).

В этой формуле выражение Σpα² не может приниматься тождественным выражению Σра², где а² есть уклонение от А (от приближенной средней).

Отыщем σ при n =15:

Число жаберных тычинок 29 30 31 32 33 34 35 36 37 n

Частота 1 1 2 5 2 2 0 0 2 15

Так как здесь принимаются отклонения от М, то необходимо сначала определить М. М=32,60.

Находим уклонения от нашего М, т. е. от 32,60.

Если бы вычисления шли при неуменьшенном n, т. е. при 15, ii не при 14 (n—1), то σ равнялась бы ±2,15. Различие сигм для малого п (15) существенно.

При работах по определению морфологических признаков рыб вообще не следует вести вариационно-статистическую обработку при малом количестве особей (менее 25) ,а потому и пользоваться рассмотренной формулой ( ) почти

не приходится. Если же приходится, то во всяком случае не следует вычисления сигмы вести таким длительным способом, какой мы только что рассмотрели, а решать способом уклонений или способом сумм.

К решению формулы можно придти, пользуясь формулой

Решение ряда можно вести так

Ход решения данного примера можно вести и иначе. Составляем решетку.

Решение идет таким образом

отсюда

В рядах, где классовый промежуток не единица, найденное значение сигмы нужно помножить на величину классового промежутка (λ):