2. Декартова система координат

Нехай в просторі дано точку О і ортонормований базис, який позначатимемо  .

Сукупність точки О і ортонормованого базису  називається декартовою прямокутною системою координат в просторі. Точку О називають початком координат. Вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора  , називається віссю  або віссю абсцис; вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора  – віссю  або віссю ординат; вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора  – віссю  або віссю аплікат. Осі  ,  ,  називають осями координат. Площини, що проходять через дві осі координат, називають координатними площинами.

Декартову прямокутну систему координат позначають  або  .

Радіус-вектором точки М назвемо вектор  (рис. 5.7). Нехай  , де  – координати вектора  в базисі  , тобто його проекції на відповідні координатні осі, їх називають координатами точки Мв системі  і записують  . Координата  називається абсцисою,  – ординатою,  – аплікатою.

Таким чином, кожній точці М в заданій декартовій прямокутній системі координат в просторі відповідає єдина впорядкована трійка чисел, і навпаки, кожній впорядкованій трійці чисел в заданій декартовій прямокутній системі координат в просторі відповідає єдина точка.

Знайдемо координати вектора  , якщо відомі координати точок  ,  . Маємо (рис. 5.8):

.

Отже, координати вектора  рівні різницям відповідних координат його кінця і початку.

Три некомпланарних вектори  ,  ,  , взятих у вказаному порядку, утворюють праву орієнтацію або праву трійку, якщо з кінця  поворот від  до  по найкоротшому шляху видно проти ходу стрілки годинника (рис. 5.9). В протилежному випадку трійка векторів утворюєліву трійку.

Якщо вектори  утворюють праву (ліву) трійку, то, помінявши місцями довільні два вектори, отримаємо ліву (праву ) трійку.

Система координат називається правою, якщо її базисні вектори утворюють праву трійку і лівою, якщо – ліву.

Аналогічно визначається декартова прямокутна система координат на площині.

3. Дії над векторами Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы   и  , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов   и  .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы   и  . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов   и  .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов   и   получаем: