Экзаменационные вопросы по математике

1 Вопрос: Натуральные, целые, рациональные и действительные числа.

Натуральные числа — числа, возникающие при счёте. Например: 1, 2, 3 и т.д. Их множество обозначается буквой N. Это целые положительные чисоа.

Целые числа - Натуральные числа, а также все числа противоположные им по знаку, и число 0. То есть все числа, не являющиеся дробными. Обозначаются буквой Z.

Рациональные числа - это целые и дробные числа (обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби). Обозначаются буквой Q.

Действительные числа – это положительное число, отрицательное число или нуль. То есть все числа. Обозначаются буквой R.

2 Вопрос: Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа.

Комплексные числа — числа вида z = a + bi , где a и b — действительные числа, a называется действительной частью комплексного числа z, b называется мнимой частью комплексного числа z, i² = -1. Обозначаются буквой С. 

3 Вопрос: Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

4 Вопрос: Корень n-ной степени. Основные свойства корней.

Корнем n-ной степени из числа а называется такое число, n-ная степень которого равна a.

Замечание: для любого действительного х выполняется:

Основные свойства корней:

1)

2)

3)

4)

5)

5 Вопрос: Степени и их свойства

a > 0, r = , m и n – целые, n ≠ 0

Степенью числа a с рациональным показателем r называется число

Свойства степени:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

6 Вопрос: Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Основное логарифмическое тождество:

7 Вопрос: Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами.

Десятичный логарифм – логарифм, основание которого равно 10.

Натуральный логарифм – логарифм, основание которого равно e. e ≈ 2,7.

Свойства логарифмов:

8 Вопрос: Формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

9 Вопрос: Радианная и градусная мера углов. Формулы перехода из радианной меры в градусную и обратно.

1 0 Вопрос: Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Синусом угла а (альфа) называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол а (альфа).

Косинусом угла а (альфа) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол а (альфа).

Тангенс угла – это отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла.

Котангенс угла – это отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла.

11 Вопрос: Основные тригонометрические тождества.

12 Вопрос: Формулы приведения.

13 Вопрос: Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.

14 Вопрос: Тригонометрические функции двойного аргумента.

15 Вопрос: Тригонометрические функции половинного аргумента.

16 Вопрос: Преобразования суммы или разности тригонометрических функций в произведение.

17 Вопрос: Преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность.

18 Вопрос: Арксинус и арккосинус числа.

Арксинусом числа a называется число b из промежутка , синус которого равен a.

Свойства арксинуса:

Арккосинусом числа а называется такое число b из промежутка , косинус которого равен a.

Свойства арккосинуса:

19 Вопрос: Арксинус и арккосинус числа.

Арктангенсом числа a называется число b из промежутка , тангенс которого равен a.

Свойства арктангенс:

Арккотангенсом числа a называется число b из промежутка , котангенс которого равен a.

Свойства арктангенс:

20 Вопрос: Решение простейших тригонометрических уравнений.

1. 

1. 

2. 

3. 

Примечание: Если

1 –

2 –

3 –

2. 

3. 

Примечание: Если

1 –

2 –

3 –

3. 

5. 

4. 

7. 

21 Вопрос: Решение простейших тригонометрических неравенств.

П ример 1. Решить неравенство sin(t) > = -1/2.

Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у =-1/2. Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt₁ и Pt₂. Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек, дуга l.

Pt₁ лежит в правой полуокружности, её ордината равна -1/2, тогда t₁=arcsin(-1/2) = - π/6. Для описания точки Pt₁ запишем формулу: t₂ = π – arcsin(-1/2) = 7*π/6. В итоге: t = π/6

Так как функция синус - функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2*π. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: -π/6+2*π*n < = t < = 7*π/6 + 2*π*n, при любом целом n.

П ример 2. Решить неравенство cos(t) <1/2.

Рисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на графике на оси Ох точку x = 1/2. Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt₁ и Pt₂. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt₁ и Pt₂.

Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать дуге l.. Найдем точки t₁ и t₂. 

t₁ = arccos(1/2) = π/3.

t₂ = 2*π - arccos(1/2) = 2*π-π/3 = 5*π/6.

Получили неравенство для t: π/3<t<5*π/6.

Косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2*π.

Ответ: π/3+2*π*n <t<5*π/6+2*π*n, для любого целого n.

П ример 3. Решить неравенство tg(t) < = 1.

Период тангенса равняется π. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов.

Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча – дуга l. Причем, точка P(-π/2) не принадлежит этой дуге. Найдем условие, при котором некоторая точка Pt будет принадлежать дуге l. t₁ = arctg(1) = π/4. 

Получаем неравенство –π/2 < t < = π/4. 

Учитывая период тангенса записываем ответ.

Ответ: -π/2+π*n<t< =π/4+π*n, для любого целого n.