Задача № 1

Обработать ряд результатов наблюдений X_i (таблица 1), полученный по результатам многократных прямых измерений частоты, кГц, и оценить случайную погрешность измерения, считая результаты исправленными и равноточными. Доверительную вероятность принять Р_д = 0,95.

Таблица 1

i	Xi
1	10,406
2	10,629
3	10,265
4	10,302
5	10,269
6	10,627
7	10,752
8	10,391
9	10,35
10	10,273
11	10,254
12	10,399
13	10,279
14	10,594
15	10,746
16	10,346
17	10,697
18	10,264
19	10,451
20	10,396
21	10,408
22	10,624
23	9,6276
24	10,627
25	10,342
26	10,629
27	10,752
28	10,538
29	10,693
30	10,404

Решение

1 Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических погрешностей нет необходимости.

2 Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений

кГц.

Значение принимается за результат измерения.

3 Определяем случайные отклонения V_i результатов отдельных наблюдений по формуле

V_i = X_i  .

Результаты промежуточных расчетов заносим в таблицу 2.

Таблица 2

i	Vi	V2i
1	-0,0385	0,001482
2	0,185	0,034225
3	-0,1794	0,032184
4	-0,142	0,020164
5	-0,1756	0,030835
6	0,1824	0,03327
7	0,3072	0,094372
8	-0,0531	0,00282
9	-0,0948	0,008987
10	-0,1719	0,02955
11	-0,1905	0,03629
12	-0,0454	0,002061
13	-0,1654	0,027357
14	0,1493	0,02229
15	0,3013	0,090782
16	-0,0987	0,009742
17	0,2524	0,063706
18	-0,1804	0,032544
19	0,0062	0,0000384
20	-0,0483	0,002333
21	-0,0363	0,001318
22	0,1794	0,032184
23	-0,8168	0,667162
24	0,1826	0,033343
25	-0,102	0,010404
26	0,1849	0,034188
27	0,3078	0,094741
28	0,0937	0,00878
29	0,2482	0,061603
30	-0,0402	0,001616

Правильность вычислений и V_i определяем по формуле . Если, то имеют место ошибки в вычислениях.

, значит вычисления верны.

4 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений

кГц.

5 С помощью критерия грубых погрешностей (критерий «трёх сигм») проверяем наличие грубых погрешностей.

В соответствии с этим критерием, если , то такое наблюдение содержит грубую погрешность. В случае обнаружения грубой погрешности в i-м наблюдении необходимо это наблюдение исключить из результатов наблюдений и повторить вычисления по пп. 1-5 для меньшего числа n.

В решаемой задаче кГц и, как видно из таблицы 2 грубая погрешность в 23 измерении. Поэтому исключаем это наблюдение и повторяем вычисления для числаn-1=29:

кГц.

i	Vi	V2i
1	-0,0667	0,004449
2	0,1568	0,024586
3	-0,2076	0,043098
4	-0,1702	0,028968
5	-0,2038	0,041534
6	0,1542	0,023778
7	0,279	0,077841
8	-0,0813	0,00661
9	-0,123	0,015129
10	-0,2001	0,04004
11	-0,2187	0,04783
12	-0,0736	0,005417
13	-0,1936	0,037481
14	0,1211	0,014665
15	0,2731	0,074584
16	-0,1269	0,016104
17	0,2242	0,050266
18	-0,2086	0,043514
19	-0,022	0,000484
20	-0,0765	0,005852
21	-0,0645	0,00416
22	0,1512	0,022861
23	0,1544	0,023839
24	-0,1302	0,016952
25	0,1567	0,024555
26	0,2796	0,078176
27	0,0655	0,00429
28	0,22	0,0484
29	-0,0684	0,004679

- вычисления верны;

кГц.

кГц

Грубых погрешностей нет, поэтому продолжаем расчеты для n=29.

6 Определяем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения из выражения

кГц.

7 Выдвигаем гипотезу о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению и проверяем эту гипотезу.

В решаемой задаче n = 29. Поэтому принадлежность результатов наблюдений к нормальному распределению проверяем по составному критерию.

б) Критерий 1. Вычисляем смещённую оценку среднего квадратического отклонения по формуле

кГц.

Вычисляем параметр

Результаты наблюдений можно считать распределенными нормально, если

,

где и- квантили распределения, получаемые из таблицы 3 по n, q₁/2 и (1 - q₁/2), причем q₁ - заранее выбранный уровень значимости критерия.

Выбираем уровень значимости q равным 5 %. Из таблицы 3 находим = =0,8625,= 0,7404. Сравнивая полученное значениес этими величинами, делаем вывод о том, что по критерию 1 результаты наблюдений распределены по нормальному закону.

Критерий 2. Этот критерий используется дополнительно для проверки «концов» распределений.

Гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается, если не более m разностей V_i превзошли значение , где верная квантиль распределения нормированной функции Лапласа отвечает вероятности P/2.