1.ТМО різних методичних підходів до формування поняття натурального числа і нуля. Натуральний ряд чисел. Особливості десяткової позиційної системи числення. Основним завданням початкового курсу математики є формування у дітей поняття про цілі невід'ємні числа та дії над ними. Першою темою із арифметичної частини програми є тема "Нумерація", яка розглядається в кожному із концентрів: "Десяток", "Сотня", "Тисяча" і "Багатоцифрові числа". Під нумерацією розуміють способи називання, читання та записування чисел. Розрізняють усну і письмову нумерацію. Незалежно від концентру при вивченні нумерації чисел діти ознайомлюються з операціями лічби і вимірювання, читанням і написанням чисел, співвідношенням між числом і цифрою, з різними способами одержання чисел (додаванням 1 до даного числа, відніманням 1 від даного числа, як суми двох доданків), з послідовністю цілих невід'ємних чисел від 0 чи 1 до найбільшого числа у цьому концентрі, з принципом побудови натурального ряду чисел, з властивостями множини натуральних чисел, з десятковим складом чисел, з кількісним і порядковим значенням чисел.Є 3 теорії цілих невід’ємних чисел: 1) кількісна або теоретико-множинна, в якій число трактується як спільна властивість класу скінченних еквівалентних множин; 2) порядкова або аксіоматична, в якій натуральне число визначається з допомогою системи аксіом та операції “слідувати за..."; 3) теорія, яка розглядає натуральне число як результат вимірювання величини. Аналіз цих теорій свідчить, що основними поняттями у кожній з них є “число”, “величина”, “відношення”, “множина”. Відповідно до цих теорій існують різні теоретико-методичні підходи до формування поняття натурального числа і нуля. Залежно від того, яка з теорій покладена в основу, будуються підручники і розробляється методика формування поняття натурального числа і нуля у молодших школярів на уроках математики. Формування у дітей цих понять є одним із найважливіших завдань початкового курсу математики.

Формування поняття натурального числа та нуля відбувається і за допомогою операцій над множинами (об’єднання множин, вилучення частини множини), і за допомогою операції вимірювання величин (визначення довжини відрізка, площі фігури, маси тіла тощо), і за допомогою встановлення відношення порядку (який за порядком, перед, після тощо). Для того, щоб дати кількісну характеристику множини, слід знайти порядок розміщення чисел в натуральному ряді.

Натуральний ряд чисел. Натуральні числа розміщуються у певному порядку, причому виконуються такі умови: один є натуральним числом, яке не слідує ні за яким натуральним числом; за будь-яким натуральним числом безпосередньо слідує лише одне натуральне число, яке є сумою попереднього числа і одиниці; будь-якому відмінному від одиниці натуральному числу безпосередньо передує лише одне натуральне число, яке є різницею даного числа і одиниці. Так розміщені натуральні числа називають натуральним рядом чисел. Частина натурального ряду чисел, починаючи від одиниці до даного числа, називається початковим відрізком натурального ряду.

Особливістю початкового курсу математики є те, що при формуванні поняття числа діти спочатку знайомляться з 0 як із значком, тобто цифрою, яку використовують для позначення числа 10, і лише після ознайомлення дітей із дією віднімання 0 з'являється як число, яке є результатом дії віднімання у випадках виду 5–5=0.

У курсі математики початкових класів з метою узагальнення числових уявлень діти спочатку неявно, а в кінці 4-го класу і явно, знайомляться з десятковою позиційною системою числення та її особливостями. Система числення може бути двійковою, трійковою, десятковою тощо, а нумерація - усною і письмовою, позиційною і непозиційною, римською, старослов’янською, індійською та ін. У кожній системі числення числа записують за допомогою певних знаків - цифр. У позиційних системах числення значення кожної цифри залежить від того, на якому місці вона стоїть в записі числа.Особливості десяткової позиційної системи числення. У цій системі для запису будь-якого числа використовують всього десять знаків (цифр) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всяка скінченна послідовність цифр, яка не розпочинається з нуля, становить деяке число, причому кожна цифра у цьому записі означає відповідну кількість так званих розрядних одиниць. Так, наприклад, запис а=74362 означає число, яке складається з двох одиниць (двох одиниць першого розряду), 6 десятків (6 одиниць другого розряду), 3 сотень (3 одиниць третього розряду), 4 тисяч (4 одиниць четвертого розряду) і 7 десятків тисяч (7 одиниць п’ятого розряду). Назви всіх чисел у десятковій позиційній системі числення утворюються з невеликої кількості основних назв: один, два, три, чотири, п’ять, шість, сім, вісім, дев’ять, десять, сорок, дев’яносто, сто, тисяча, мільйон, мільярд, трильйон, квінтильйон, секстильйон, септильйон, октильйон тощо. В основі запису чисел у цій системі числення лежить принцип позиційного (помісцевого) значення цифр, який полягає в тому, що значення цифри залежить не тільки від її вигляду, а й від місця (позиції), яке вона займає в зображенні запису цього числа.

2. Тмо вивчення нумерації чисел в межах 100

Підготовча робота до вивчення нумерації чисел 21-100 проводиться при вивченні додавання і віднімання чисел другого десятка і включає в себе виконання вправ, спрямованих на повторення способів утворення чисел двома способами, повторення назв чисел 1-20 та їхніх позначень, читання вказаних чисел, усвідомлення десяткового складу чисел 11-20 і повторення послідовності чисел від 1 до 20.

Одним з нових понять, з якими знайомляться діти у цій темі, є поняття нової лічильної одиниці “десяток”. ТМО ознайомлення дітей із новою лічильною одиницею “десяток” та формування уяви про неї проводиться з використанням системи завдань, яка включає в себе:

1) бесіду, в процесі якої вчитель ознайомлює дітей із новою лічильною одиницею і яка ілюструється предметно-практичними діями. Виставивши на набірному полотні або розглядаючи у підручнику малюнок із зображенням певної кількості предметів, вчитель пропонує полічити їх у кожній групі. Скільки у нас всього предметів у кожній групі? Як ми з вами лічили? - по одному. Щоб підвести дітей до такого висновку, корисно при лічбі іншої групи предметів виставляти їх по одному. А чи можна лічити не по одному? Після цього пропонуємо дітям розглянути малюнок підручника, на якому зображено групи предметів по десять. Після того, як з'ясуємо кількість предметів у кожній із цих груп, запитуємо: як можна було б назвати число, яке показує кількість предметів у кожній із груп. Відповідь – "десяток.

2) завдання на лічбу десятками, які спочатку повинні обов'язково виконуватися з опорою на наочність. Для одних дітей ця опора у вигляді предметних картинок може знятися раніше, а для інших – пізніше. Але, якщо діти почнуть допускати помилки при лічбі десятками, то потрібно знову звернутися до наочності. Лічбу десятками необхідно виконувати не лише в прямому порядку (1 дес., 2 дес., ...), але і в зворотному (9 дес., 8 дес., ...).

Для того, щоб повторити помісцеве значення цифр, десятковий склад круглих чисел, правило їх запису, вчителі використовують вправи наступного виду:

1. яку цифру можна записати у віконце 3 так, щоб одержати числа менші, ніж 38. Запишіть можливі випадки та обґрунтуйте свою відповідь.

2. які цифри можна записати замість віконець 4>4 так, щоб одержати правильні нерівності?

3. порівняй числа кожного рядка У чому їх спільність та відмінність? скільки десятків містить кожне з чисел другого ряду?

Для узагальнення і систематизації знань учнів з теми “Нумерація чисел в межах ста” можна використати завдання, в яких вимагається дати характеристику заданого числа. Ця характеристика передбачає відповіді на наступні запитання:

1. скільки всього десятків і скільки окремих одиниць у даному числі?

2. скільки одиниць другого розряду і скільки одиниць першого розряду у заданому числі?

3. яке місце займає це число у натуральному ряду чисел?

4. які особливості запису цього числа?

5. яке це число?

3. ТМО вивчення нумерації чисел в межах 1000 Наступний крок у вивченні нумерації — заповнення натурального ряду чисел спочатку від 100 до 199, а потім від 200 до 1000. З метою актуалізації опорних знань учнів слід повторити знання про натуральний ряд чисел від одного до ста та способи утворення чисел. Для цього використовують вправи виду: яке найбільше двоцифрове число? яке найменше трицифрове число? як утворити число, яке слідує за числом 100? яке це буде число? скільки в ньому окремих сотень, одиниць. Повторивши, як утворюється кожне наступне число в ряді і на скільки воно більше від попереднього, учні самі повинні показати, як утворюються числа, що йдуть у ряді за числом 100 і далі. Хто-небудь з них обов'язково скаже, як називається число, що йде за числом 100, як утворюється наступне число. Вчитель повинен звертати особливу увагу на те, щоб діти розуміли відмінності між запитаннями: а) скільки всього сотень і скільки всього сотень у числі?; б) скільки всього десятків у числі?; скільки окремих десятків у числі?; в) скільки всього одиниць у числі?. Формувати уявлення про числа натурального ряду чисел (від 1 до 1000) допомагають і такі вправи, подані у підручнику: 1)запишіть усі числа, розміщені між числами 597 і 605, 859 і 870; 2)скільки чисел знаходиться між числами 100 і 200, між 700 і 900, 100 і 1000? 3) полічи від 521 до 545.Потім розпочинається робота з розгляду десяткового складу чисел, їх утворення із сотень, десятків і одиниць. З цією метою використовуються такі вправи:1) назвіть число, яке складається із 8 сотень, 2 десятків і 3 одиниць? (823); 2) скільки сотень, десятків і одиниць у числі 783, 250, 300?; 3) на обчислення виду 200+70+8, 100+8; 4) на перетворення складених іменованих чисел у прості і навпаки, наприклад, 2 крб. 70 коп. = 270 коп.; 800 см = 8 м; 5) на порівняння складених і простих іменованих чисел, наприклад: 6 м60 см, 7 м700 см; 6) на порівняння абстрактних чисел, наприклад 600  60, 756  765 тощо; 7) на представлення числа у вигляді суми розрядних доданків, наприклад: 458=400+50+8; 8) скільки цифр ми використовуємо для запису двоцифрових чисел? Скільки ми будемо використовувати цифр для запису трицифрових чисел? Назвіть цифри, які використані для запису числа 333, 456. Коли учні засвоять, як утворюються числа в межах 1000, навчаться ілюструвати їх за допомогою посібників, можна перейти до розгляду письмової нумерації. З самого початку роботи над письмовою нумерацією треба нагадати дітям, що цифра в записі числа може мати різне значення залежно від того, яке місце вона займає в ньому. Навчаючи дітей читати і записувати трицифрові числа пропонують вправи на виявлення подібності і відмінності між числами (наприклад: 7, 70, 700). На основі розгляду цих чисел учнів підводять до висновку про те, що означає у записі кожного з цих чисел цифра 7. Після цього перейти до з'ясування того, яке з цих чисел найбільше, яке — най­менше. Нові для дітей поняття “трицифрові числа”, “одиниці третього розряду” формуються на основі вже відомих їм понять “одноцифрове число”, “двоцифрове число”, “одиниці першого розряду”, “одиниці другого розряду”.Для формування у дітей умінь записувати трицифрові числа використовується система вправ: 1) запис чисел у нумераційну таблицю, наприклад: запишіть в таблицю число, яке складається з семи сотень, трьох десятків і чотирьох одиниць; 2)вправи на позначення трицифрових чисел на рахівниці; 3)вправи на записування трицифрових чисел під диктовку; 4) вправи на читання чисел, зображених у нумераційній таблиці чи на рахівниці; 5)що означає кожна цифра в записі чисел? (345, 453, 534); 6)що означає кожна цифра 3 у записі кожного з чисел 375, 37, 503, 333? 7)за допомогою цифр 3, 7, 5 запишіть 6 різних трицифрових чисел; 8)за допомогою цифр 3 і 6 запишіть всі можливі одно, дво- та трицифрові числа; 9)вправи на заміну числа сумою розрядних доданків, наприклад: 534=500+300+4, 720=700+20;