Глава IX. Некоторые проблемы логики § 1. Парадокс умозаключения

Мы получим еще более глубокое понимание природы формальной логики, если рассмотрим некоторые критические аргументы против нее. Наше обсуждение традиционной логики, равно как и современной логики и математики, было нацелено на прояснение того, что в любом обоснованном умозаключении заключение с необходимостью следует из посылок. Мы в то же время отметили, заключение – это не просто переформулированные посылки: для доказательства теоремы в геометрии или определения весомости оснований для истинности данного суждения одного только знания языка недостаточно. Как следствие, у многих изучавших логику людей возникало сомнение в полезности и правильности формальной логики.

С одной стороны, было сказано, что если заключение с необходимостью следует из посылок, то оно должно «содержаться» в посылках. Если же заключение не «содержится» в посылках, то выведение одного, а не другого заключения становится случайным, а не необходимым, и из посылок тогда можно вывести даже несовместимое с ними заключение. В таком случае термин «обоснованность» будет совершенно бессмысленным. С другой стороны, говорилось, что заключение должно отличаться от посылок, а обоснованное суждение должно продвигать нас к чему-то новому и ранее неизвестному. Если бы такого продвижения не было бы, то само умозаключение было бы бесполезным. Данный парадокс умозаключения может быть сформулирован в следующей форме: если в умозаключении заключение не содержится в посылках, то само умозаключение не может быть обоснованным; а если заключение не отличается от посылок, то оно бесполезно; однако заключение не может одновременно содержаться в посылках и быть новым и неизвестным; следовательно, умозаключения не могут быть одновременно обоснованными и полезными.

Данный критический аргумент приводится довольно часто, хотя на самом деле он основывается на ряде спутываний. Нам следует проанализировать, что имеется в виду, когда утверждается, что заключение «содержится» в посылках и что заключение представляет нечто «новое». Данные вопросы тесно связаны. Рассмотрим сначала второй из них.

1. Важно различать психологическую новизну, которой может обладать заключение, и логическую новизну, которую, как полагается, оно может иметь. Заключение может показаться удивительным или неожиданным, даже если оно корректно выведено из посылок. Разумеется, большинство людей, когда имеет дело с аксиомами Евклида, не держит в голове сразу все из них. Даже в менее сложных аргументах психологическая новизна очень часто присутствует. Ниже приводится часто цитируемая история Теккерея: «Старый аббат в кругу близких подруг однажды сказал: „Опыт священника порой может быть очень странным; например, мой первый покаявшийся на исповеди грешник был убийцей". После этого в комнату вошел местный предводитель дворянства со словами: „А, аббат, вот вы где; знаете, дамы, я был первым человеком, покаявшимся у аббата, и мое признание его поразило!"». Читатель может к этому добавить, что заключение данного силлогизма, без сомнения, удивило присутствующих дам. Неожиданность заключения, выведенного из свободно заданных посылок, также иллюстрируется в задаче о двух часах, придуманной К. Л. Доджсоном. «Что лучше: часы, правильно показывающие время лишь раз в год, или часы, правильно показывающие время дважды в день? – „Разумеется, второе", – отвечаете вы. Хорошо. А теперь смотрите. У меня двое часов: одни вообще не идут, а другие каждый день отстают на минуту. Какие из двух вы предпочтете? „Без сомнения, те, что отстают на минуту", – отвечаете вы. А теперь обратите внимание: часы, отстающие на минуту в день, должны будут отстать на двенадцать часов, или на 720 минут, прежде чем они вновь покажут правильное время. Поэтому такие часы будут правильно показывать время лишь один раз за два года, тогда как стоящие часы правильно указывают время каждый раз, когда реальное время соответствует положению их стрелок, что случается дважды в день. Так что вы один раз сами себе уже противоречите».

Таким образом, можно согласиться с тем фактом, что человеку не всегда известно заключение из того или иного аргумента, даже если ему известны посылки, особенно если для выведения заключения требуется провести длинную цепочку умозаключений. Вполне возможно, что если бы дела так не обстояли, то мы бы не прибегали к умозаключениям, а дедукция была бы не нужна. Однако все это не имеет никакого отношения к вопросу об обоснованности умозаключения. Умозаключение может быть обоснованным, даже если заключение вполне известно. Преподавателям геометрии не кажется, что обоснованность доказательства теоремы Пифагора исчезает на том лишь основании, что они точно знают, что последует за каждым из шагов этого доказательства. Если читатель, в отличие от Евклида, «непосредственно видит», что во второй части евклидового утверждения 29 (прямая, пересекающая две параллельные прямые, делает внутренние углы одной и той же стороны равными двум прямым углам) утверждается то же самое, что и в его пятом постулате (если прямая, пересекая две другие прямые, делает внутренние углы одной и той же стороны меньше, чем два прямых угла, то эти две прямые пересекутся именно на этой стороне), то ему не потребуется вырабатывать доказательство для этой теоремы, как это сделал Евклид. Однако, несмотря на это, данная теорема является необходимым следствием допущения.

Вопрос психологической новизны, таким образом, не является вопросом логики. С другой стороны, термин «логическая новизна» должен обозначать логическую независимость того, что именуется «заключением», от того, что считается его посылками. Также ясно и то, что в обоснованном аргументе заключение, вследствие своей зависимости от посылок, не может обладать логической новизной.

2. Теперь нам следует рассмотреть, что имеется в виду, когда утверждается, что заключение «содержится» в посылках. Во-первых, термин «содержаться» связан с пространственной метафорой. Разумеется, никто не имеет в виду, что заключение содержится или присутствует в посылках подобно тому, как в комнате присутствует стол, или даже тому, как в яйце содержится курица. Во-вторых, мы уже отбросили точку зрения, согласно которой заключение психологически или явно присутствует в нашем сознании, когда мы рассматриваем посылки, из которых его выводим. Какое же значение можем мы в таком случае придать утверждению о том, что заключение содержится в посылках? Только следующее: в обоснованном аргументе заключение имплицируется посылками. Парадокс исчезает, если понять, что отношение импликации между суждениями таково, что в случае его замены каким-то другим аналогичным понятием, обладающим некоторыми из его формальных свойств, сразу возникает спутывание.

Дополнительные замечания должны развеять затруднения, которые все еще могут мучить читателя. Суждения имплицируют друг друга, а наши умозаключения являются обоснованными в силу такого объективного отношения, как импликация. Мы можем делать умозаключения, но мы не делаем, а всего лишь открываем импликации. Конечно, логика не детерминирует то, какие именно суждения мы выведем из всех возможных имплицируемых суждений на основе ряда допущений. Это уже зависит от наших внелогических интересов и наших интеллектуальных способностей.

В этой связи также удобно различать конвенциональное значение суждения и суждения, которые этим суждением имплицируются. Разумеется, в определенном смысле данное различие является надуманным, поскольку, после того как мы открываем некоторые из имплицируемых суждений, они становятся частью значения посылок. Так, открыв, что аксиомы Евклида имплицируют, что сумма углов треугольника равняется двум прямым углам, мы зачастую начинаем рассматривать эту теорему как характеризующую всю суть аксиом. Тем не менее, поскольку четкого и окончательного разграничения того, что считается конвенциональным значением суждения и его логическими следствиями не проведено, подобное различие на практике признается. Начинающий изучать геометрию в некоторой степени понимает, что имеется в виду, когда говорится, что через точку, не лежащую на прямой, может быть проведена лишь одна прямая, параллельная данной, даже если он и не знает, какие еще суждения он имплицитно принимает, соглашаясь с данным утверждением. Поэтому договоримся обозначать термином «конвенциональное значение» тот минимальный объем значения, который требуется группе исследователей для того, чтобы указывать на одно и то же суждение. Таким образом, конвенциональное значение суждения «все люди смертны» может заключаться в том, что класс людей принадлежит классу смертных. В таком случае значение суждения «все бессмертные являются не-людьми» не представляет часть конвенционального значения исходного суждения, а является значением имплицируемого им суждения.

Данное различие полезно, ибо позволяет дать ясный ответ на сформулированный парадокс. Поскольку в сознании рассуждающего человека предстает лишь конвенциональное значение посылки, конвенциональные значения некоторых из имплицируемых суждений могут им упускаться так, что, будучи обнаруженными среди имплицируемых суждений, могут породить чувство новизны. С другой стороны, с точки зрения отношений между конвенциональными значениями значение имплицируемых суждений всегда связано с («содержится в») значением посылок.

Иногда считается, что тезис о том, что в выводе заключение всегда существенным образом связано с посылками, так что последние не могут быть истинными, если первые ложны, препятствует возможности физического изменения или физической новизны. Адекватное рассмотрение данного тезиса приведет нас к вопросам метафизики. Однако читатель может без труда отвергнуть подобную интерпретацию, если вспомнит, что отношения импликации зависят не от эмпирической истинности посылок, а от логических отношений между посылками и заключением. Данные отношения применимы и к изменяющемуся миру, ведь мы можем знать об изменении только относительно определенных констант. Вопрос о том, существует ли в физическом мире хоть что-то постоянное, ставится как из эмпирических, так и из логических соображений. Однако если оказывается, что определенное суждение физической науки на самом деле истинно, то оно, тем самым, указывает на некоторые примеры структурной тождественности, являющиеся общими характеристиками различных или следующих друг за другом состояний.