Вероятность как относительная частота

Сложности подобного рода привели к интерпретации вероятности как относительной частоты, с которой конкретное событие будет происходить в общем классе событий. Так, когда мы говорим, что вероятность того, что данная монета упадет орлом, равна ½, мы хотим сказать, что, по мере того как количество бросков этой монеты будет увеличиваться, соотношение между количеством выпавших орлов и общим количеством бросков будет около (т. е. не будет материально отличаться от) ½. Подобное утверждение, разумеется, является предположением, или гипотезой, относительно действительного положения дел в природе и поэтому требует подтверждающих его фактических оснований. Подобные основания могут быть рациональными (в смысле дедукции на основе имеющегося ранее знания) или статистическими. Мы можем знать, что одноцентовые монеты симметричны, и, опираясь на наше знание механики, мы можем заключить, что силы, заставляющие монету падать орлом вверх, уравновешиваются силами, заставляющими монету падать решкой. Или же мы можем опираться на чисто эмпирическое наблюдение как на основание для заключения о том, что в конечном счете количество падений монеты орлом вверх не превысит количество ее падений вверх решкой. В физических науках, таких как метеорология или генетика, а также и в практических делах, таких как страхование, мы полагаемся на оба вида фактических оснований. Однако статистические основания не только нельзя отбросить, но они к тому же и больше на виду. При этом нам не следует полностью отождествлять значение гипотезы и имеющийся объем статистических данных, подтверждающих ее в определенный момент времени. В гипотезе, объясняющей природу определенных вещей, утверждается нечто относительно всех возможных феноменов или членов данного класса. Поэтому она никогда не может быть доказана никаким количеством конечных наблюдений. Однако если у нас будет несколько гипотез, предпочтительна та, которая лучше других согласуется с наблюдаемыми и статистически сформулированными истинами.

При таком подходе мы можем лучше уяснить функцию математической теории вероятности. Предположим, мы начинаем с гипотезы, согласно которой вероятность рождения мальчика равна ½. Исчисление вероятности можно в таком случае использовать, с тем чтобы выводить и предсказывать частоту, с которой будут появляться семьи с двумя детьми мужского пола или семьи с двумя детьми противоположных полов. Может случиться так, что в какой-нибудь отдельно взятой общине все дети, рожденные в течение года, оказались девочками. Будет этот факт опровержением того, что вероятность рождения мальчиков равна ½? Совсем нет! Наше исчисление показывает, что при наших допущениях подобное событие крайне маловероятно, но при этом не невозможно. При этом исчисление может также показать, что такое «исключительное» событие находится в еще большем согласии с каким-то еще допущением (или является менее маловероятным, чем такое допущение). Большое количество повторений исключительных событий может, таким образом, увеличить вероятность истинности какой-нибудь иной гипотезы и уменьшить вероятность истинности той, что принята на текущий момент. Так, гипотеза о том, что вероятность рождения ребенка мужского пола равна 105/205, лучше согласуется с реальными статистическими наблюдениями.

Исчисление вероятности, таким образом, систематизирует наш опыт относительно наипростейших допущений, которые также объясняют и появляющиеся исключения. Разумеется, ни одна гипотеза относительно вероятности какого-нибудь события не может быть полностью опровергнута конечным числом наблюдений, поскольку даже очень значительные расхождения от наиболее вероятных в теоретическом смысле результатов не являются невозможными. Однако статистические результаты могут показать, что одни гипотезы менее вероятны, чем другие.

Согласно такой точке зрения вероятность не имеет дела с силой субъективных чувств. Она фундирована в природе классов событий. А для определения вероятности классов событий требуются объективные данные. При этом следует отметить, что при таком подходе вероятность уникального случая бессмысленна. Когда мы говорим о вероятности единичных случаев, то получается, что мы говорим эллиптически, т. е. ведем речь о некоторой фазе события, которая является общей и для других событий подобного вида. Поэтому, когда мы говорим, что вероятность выпадения орла для данной монеты при определенном броске равна ½, то мы на самом деле имеем в виду то, что при большом количестве подобных бросков примерно в половине из них выпадет орел. Когда мы говорим, что при двух бросках монеты вероятность выпадения двух орлов равна ¼, мы имеем в виду то, что при достаточно большом количестве серий из двух бросков количество серий, содержащих двух орлов, будет примерно равняться ¼ от общего количества серий.

Неотложным следствием из вышесказанного является предостережение от того, что называется «ошибкой игрока». Допустим, мы вступаем в игру с монетой. Предполагается, что игра «честная», т. е. в ней вероятность выпадения орла равна ½, а броски являются независимыми. Предположим, имеется серия из 20 выпавших подряд орлов, и мы хотим сделать ставку на результат следующего броска. Какова вероятность того, что при следующем броске выпадет орел? Многие игроки заключают, что вероятность выпадения орла меньше, чем ½, на том основании, что, предположительно, количество орлов и решек должно «сравняться», если монетка не является поддельной. Однако подобное заключение является неверным, а все так называемые системы, разрабатываемые игроками для обеспечения выигрыша, неизбежно пагубны для тех, кто ими пользуется. Если монета, действительно, не поддельная, то 20 выпавших подряд орлов никак не влияют на результат 21 броска. Когда мы говорим, что вероятность выпадения орла на 21-м броске равна ½, то мы подразумеваем длинную серию бросков. С другой стороны, если монета подделана, с тем чтобы выпадали орлы, то, разумеется, вероятность того, что на 21-м броске выпадет орел, больше, а не меньше, чем ½. Из работ Лапласа известна история о мужчине, который должен был в скором времени стать отцом. По мере приближения дня родов он заметил, что за предыдущий месяц в общине родилось больше девочек, чем мальчиков.

Вследствие этого он сделал большую ставку на то, что у него родится мальчик.

Наконец, нам следует отметить, что вероятность не является внутренне присущей никакому событию. Она может быть свойственна событию только в терминах принадлежности к классу событий. Вероятность выпадения орла при броске монеты рукой может быть ½, вероятность выпадения орла, если ту же монету потрясти внутри чашки, может быть иной. Здесь событие, именуемое «выпадением орла», обозначает два различных класса. А вообще класс событий, к которому принадлежит конкретное событие, всегда следует учитывать при оценке вероятности данного события.

Сформулированная теория вероятности сталкивалась с рядом возражений. Похоже, данная теория не способствует интерпретации того, что мы имеем в виду, когда говорим о вероятности истинности теории или вероятности истинности суждений, описывающих определенные события. Мы зачастую заявляем, что гелиоцентрическая система более вероятна, чем геоцентрическая. Что все это означает с позиции теории вероятности как относительной частоты? При этом мы неоднократно повторяем суждения, подобные следующим: «Вероятно, сегодня пойдет дождь», «невероятно то, что Геркулес был исторической фигурой», «вероятно, что даже если бы Наполеон одержал победу при Ватерлоо, он не смог бы долго оставаться императором Франции». Подобные утверждения нелегко интерпретировать, используя обычную теорию вероятности по частоте. Однако подобные возражения не являются фатальными, и на них можно дать ответ, несколько видоизменив техническое выражение частотной теории.