Вероятность одного из взаимоисключающих событий

Иногда нам требуется не вероятность совместного появления событий, а вероятность того, что произойдет одно из событий. Для этих целей мы вводим строго дизъюнктивные, или взаимоисключающие, события. Два события являются взаимоисключающими, если оба не могут произойти одновременно (если происходит одно, то другое отсутствует). При бросании монеты такие события, как выпадение орла или решки, считаются взаимоисключающими. Можно доказать, что вероятность того, что произойдет одно из взаимоисключающих событий, является суммой вероятностей каждого из событий. Какова вероятность получения 2 орлов или 2 решек при двух бросках монеты при допущении того, что вероятность выпадения орла равна ½и что броски осуществляются независимо? Вероятность выпадения двух орлов является произведением вероятностей выпадения орла при первом броске и орла при втором броске, т. е. ¼ Сходным образом вероятность выпадения двух решек равна ¼ Следовательно, вероятность выпадения либо двух орлов, либо двух решек равна ¼+ ¼ т. е. ½ Тот же результат получается при непосредственном применении определения вероятности к четырем возможным событиям: ОО, ОР, РО, РР . Два из перечисленных событий являются благоприятными. Следовательно, искомая вероятность равна 2/4 или ½ Вообще, если Р ( а ) и Р ( b ) являются возможностями двух взаимоисключающих событий соответственно, то вероятность получения одного из двух событий равна Р ( а + b ) = Р ( а ) + Р ( b ).

Две данные теоремы (теорема умножения для независимых событий и теорема сложения для взаимоисключающих событий) являются фундаментальными теоремами исчисления вероятности. С помощью самих этих теорем, а также с помощью их расширений можно с легкостью разрешить и более сложные проблемы. Предположим, что мы по одному разу извлекаем шары из двух урн. При этом в первой содержится 8 белых и 2 черных шара, а во второй —6 белых и 4 черных шара. Извлечение любого из шаров считается равновероятным. Какова вероятность того, что, когда мы извлечем по одному шару из каждой урны, по меньшей мере один из них будет белым? Вероятность извлечения белого шара из первой урны равна 8∕10, а из второй урны —6∕10. Возникает соблазн сложить эти дроби, с тем чтобы получить вероятность извлечения белого шара из любой из двух урн. Однако такой шаг будет ошибочным. О твет будет больше 1, что абсурдно. И действительно, в данном случае мы не можем просто складывать, поскольку данные события не являются взаимоисключающими. Однако мы можем получить нужный результат следующим образом: вероятность неизвлечения белого шара (т. е. извлечения черного шара) из первой урны равна 2∕10; а вероятность неизвлечения белого шара из второй урны равна 4∕10. Следовательно, предполагая, что извлечения осуществляются независимо, вероятность неизвлечения белого шара ни из первой, ни из второй урны равна 2∕10 × 4∕10, т. е. 8∕100. Следовательно, поскольку мы должны либо не извлечь ни одного белого шара из двух урн, либо извлечь хотя бы один, то вероятность извлечения по меньшей мере одного шара равна 1–8∕100, или 92∕100.

Какова вероятность выпадения 3 орлов при 5 бросках монеты при допущении, что орлы и решки равновероятны и что все броски являются независимыми? При решении данной задачи мы познакомимся еще с одной важной формулой исчисления вероятности. Возможно, мы начали бы рассуждать так: поскольку подбрасываются 5 монет, то вероятность выпадения орла на каждой из них равна ½ а искомая вероятность ½× ½× ½ или ⅟₈ Однако нам нужно выпадение трех орлов, и, следовательно, две другие монеты должны выпасть решкой, вероятность чего равна ½× ½ или ¼ из этого мы можем заключить, что вероятность выпадения лишь 3 орлов (т. е. 3 орлов и 2 решек) равна ⅛× ¼ или 1/32 Однако данный ответ будет неверным. В его неправильности можно будет легко убедиться, если выписать все возможные способы, которыми могли бы выпасть 5 монет, а затем непосредственно применить определение вероятности к этим равновероятным альтернативам.

Возможные альтернативы таковы:

Имеется 32 равновероятные возможности, из которых 10 являются благоприятными. Вероятность выпадения 3 орлов и 2 решек равна 10/32, что в десять раз больше, чем результат, полученный неверным методом.

Теперь мы можем понять, почему изначально предложенный метод был неверным. В нем не учитывались различные варианты упорядочивания, по которым могли выпасть 3 орла и 2 решки. Следовательно, нам требуется способ оценки числа различных вариантов упорядочивания, которые можно изобразить с помощью 5 буквенных знаков, 3 из которых будут представлять одну букву, а 2 – другую. Читателям, знакомым с законами комбинаторики, будет несложно осуществить подобную оценку. Тем же, кто не знаком с этой областью арифметики, не следует отчаиваться, поскольку существует очень простая формула, позволяющая легко получать нужный результат. Число возможных событий для каждой категории сложного события (т. е. 1 для 5 орлов и 0 решек, 5 для 4 орлов и 1 решки и т. д.) является ничем иным, как соответствующим коэффициентом в разложении двучлена

(а + Ь)5 = а5 + 5 а4Ь + 10 а3Ь2 + 10 а2Ъ3 + 5 аЬ4 + Ь5.

Таким образом, можно строго доказать, что если р является вероятностью события, a q является вероятностью его единственной взаимоисключающей альтернативы, то вероятность комплексного события, количество компонентов которого равно п, получается посредством выбора соответствующего термина при разложении двучлена (р + q)n . Разложение данного двучлена может быть осуществлено довольно просто:

Рассмотрим еще одну иллюстрацию формулы двучлена. Урна содержит 2 белых шара и 1 красный. Нам нужно 4 раза извлечь шар из урны, при том что мы каждый раз будем заменять извлеченный шар на такой же. Мы можем полагать, что все шары равновероятны относительно возможности быть извлеченными и что содержимое урны тщательно перемешивается после каждого извлечения, так что все извлечения независимы. Какова вероятность извлечения 3 белых шаров и 1 красного? Вероятность извлечения белого шара: р = 2/з, а красного: q = ⅓. Чтобы получить нужный ответ, нам следует лишь разложить двучлен:

(р + q)4 = р4 + 4p3q + 6p2q2 + 4 pq3 + q4,

а затем подставить указанные нумерические значения в термин, который представляет вероятность извлечения 3 белых шаров и 1 красного. Данным термином является 4p3q , а искомая вероятность равна 4 х (⅔)3 х (⅓) или 32/81.