§ 6. Математическая индукция

«Но не забываете ли вы, что в математике также имеет место индукция?» – может возразить читатель. «Вы описывали математику как типичную дедуктивную науку, в которой все теоремы являются необходимыми следствиями аксиом. Однако вы ведь не упустите из вида такой метод доказательства, как математическая индукция?».

Читатель, без сомнения, находится в ловушке слов. Действительно, существует метод математической индукции, однако это название не вполне удачно, поскольку подразумевает некое сходство с методом проведения экспериментов и подтверждения гипотез, использующимся в естественных науках. Однако такого сходства на самом деле нет, а математическая индукция является чисто доказательным методом.

Однако следует ли еще раз предостерегать читателя от распространенной ошибки спутывания временного порядка, в котором мы обнаруживаем те или иные суждения науки, и порядка их логической зависимости? Любой, кто когда-либо решал задачу по геометрии, знает, что существует подготовительная «стадия прощупывания», во время которой мы строим догадки, размышляем, строим вспомогательные линии и т. д. до тех пор, пока мы, как говорится, не наткнемся на доказательство. При этом никто не станет спутывать данную предварительную стадию, какой бы существенной она ни была, с достигаемым в итоге доказательством. Такая начальная стадия «прощупывания», действительно, обладает большим сходством с тем, как люди осуществляют исследования в какой бы то ни было сфере. Процесс проверки путем догадок характерен и для математического исследования, так же как и для исследования в естественных науках.

Принцип математической индукции может быть сформулирован следующим образом: если некоторое свойство принадлежит числу 1 и если, когда оно принадлежит числу п, можно доказать, что оно принадлежит и п + 1, то оно принадлежит всем числам. Докажем с помощью данного принципа следующую теорему для всех целочисленных значений п:

1 + 3 + 5 + 7 +… (2п – 1) = n2.

Очевидно, что это истинно для rt = 1. Теперь покажем, что, если то же самое имеет место и для числа п, то оно имеет место и для (п + 1).

a. 1 + 3 + 5 +… (2 n – 1) = n2.

Прибавив (2 n – 1) + 2 или (2 n + 1) к обеим сторонам уравнения, мы получим:

b. 1 + 3 + 5 +… (2 n – 1) + (2 n + 1) = n2 + (2 n + 1) = (n +1)2.

Однако Ь имеет ту же форму, что и а. Таким образом, мы показали, что если теорема истинна для числа п, то она истинна и для (n + 1). Она истинна для n = 1. Следовательно, она истинна для n = 1 + 1, т. е. для 2; следовательно, она истинна для n = 2 + 1, т. е. для 3, и т. д. для каждого целого числа, которого можно достигнуть путем последовательного прибавления 1. Таким образом, получившееся доказательство является абсолютно строгим, дедуктивным и всецело формальным. В нем нет никакой апелляции к эксперименту. А принцип математической индукции, как показывают современные исследователи, является частью самого значения конечных, или «индуктивных», чисел.

§ 7. Роль обобщения в математике

В предыдущей главе мы обратили внимание на изменение в значении слов в процессе обобщения. В математике подобный процесс также имеет место и чаще всего связан с тем, что называется «современным обобщением числа». Несложно впасть в ошибку относительно того, что подразумевается под «числом», когда речь идет о его обобщении. Рассмотрим данный вопрос подробнее.

Слово «число» изначально распространялось только на целые числа (1, 2, 3 и т. д.). При таком понимании числа можно складывать и умножать, а в некоторых случаях вычитать и делить. Абстрактная природа целых чисел может быть выражена посредством набора суждений, указывающих на то, какие операции могут проводиться в отношении суждений и в каких отношениях эти операции состоят друг к другу. Например, ниже приведены некоторые из абстрактных свойств целых чисел:

a + b = b + a ,

( a + b ) + c = a + ( b + c ),

a × b = b × a,

a × ( b + c ) = a × b + a × c.

Операции, являющиеся инверсными относительно умножения и сложения, могут быть проведены над некоторыми из целых чисел. Так, 4 × 3 = 12; следовательно, существует целое число х, такое, что х × 3 = 12: такое число х – частное, получающееся в результате деления 12 на 3. Однако если мы не расширим наше понятие числа, инверсная операция деления не всегда может быть осуществима. Так, не существует целого числа такого, что х × 3 = 5. Следовательно, для того чтобы не было исключений в случае с делением, были введены дроби. Их тоже назвали числами, тем самым область чисел была расширена в интересах непрерывности и общности.

Это был первый пример обобщения понятия числа. Почему дроби так же стали понимать, как числа? Ответ прост, хотя и был найден совсем недавно. Дело в том, что над ними можно было проводить операции сложения, умножения и даже деления, а также потому, что формальные отношения целых чисел друг к другу в том, что касается этих операций, являются теми же самыми, что и формальные отношения между дробями. Иными словами, целые числа и дроби образуют изоморфные системы.

При этом следует отметить, что в то время как сложение и умножение целых чисел формально такое же и для дробей, тем не менее, нельзя отрицать и имеющиеся различия. Так, знак «+» в «7 + 5 = 12» и в «½+ ⅓= ⅚», обозначая формальные свойства, общие для обоих случаев, тем не менее, обозначает две различные и отличимые друг от друга операции. Вторая операция гораздо сложнее первой. Их легко спутать, поскольку они обозначаются одним и тем же символом, однако нам также не следует забывать и о том, что один и тот же символ применим к обоим случаям, потому что они обладают общими процедурными элементами.

Позднее были открыты и другие числа, когда было замечено, что некоторые из ранее введенных чисел обладали квадратными корнями, кубическими корнями и т. д., а некоторые нет. Так, пифагорейцы доказали, что диагональ квадрата несоизмерима с его сторонами. В современной записи это означает, что V2 не выразим как отношение двух целых чисел. Однако почему операция по получению корня должна быть допустимой для определенных чисел (например, для 4)? Почему бы не разрешить проведение этой операции надо всеми числами? Следовательно, в интересах непрерывности подхода и общности были открыты иррациональные числа, и их также стали рассматривать как вид чисел.

Почему? Ответ опять же прост: потому что операции с ними обладают такими же формальными свойствами, как и операции с целыми числами и дробями.

Сходные замечания, лишь с некоторыми уточнениями, были сформулированы и для других «видов чисел», с которыми имеет дело современная математика. Отрицательные числа, мнимые числа, кватернионы, трансцендентальные числа, матрицы были также введены в область чисел, поскольку того требовали непрерывность и универсальность подхода. Однако как «числа» они были обозначены потому, что обладали некоторыми абстрактными свойствами с более знакомыми примерами математических сущностей.

Обобщенность рассмотрения, таким образом, является очевидной целью математики. Однако при этом, разумеется, неверно считать, что определение термина «число», применимое, в частности, к кардинальным числам 1, 2, 3 и т. д., было в некотором смысле «расширено» или «обобщено», с тем чтобы применяться к дробным, иррациональным и остальным числам. Видового определения термина «число», относительно которого кардинальные, ординальные, дробные и прочие числа являлись бы лишь отдельными примерами, не существует. Единственный способ дать такое определение – это только в терминах формальных свойств определенных операций. Все эти сущности называются «числами» лишь в силу постоянства и инвариантности этих формальных свойств.

Данное заключение, представляющееся столь очевидным, если его сформулировать, было достигнуто лишь в силу огромных усилий современных философов и математиков. Источником многих заблуждений здесь является частое использование одного и того же символа для обозначения двух существенно разных идей. Так, кардинальное число 2 и дробь 2Л зачастую обозначаются одним символом «2». При этом они обозначают радикально разные идеи. Однако данная опасность, исходящая из математической системы символов, несомненно, перевешивается теми великими преимуществами, которые она предлагает. Она позволяет нам кратко выражать структуру математических суждений и тем самым позволяет нам отмечать точные аналогии, или изоморфизмы, в контекстах, отличающихся друг от друга во всех остальных отношениях.