§ 5. Независимость и непротиворечивость аксиом

Теперь нам необходимо рассмотреть вопросы, связанные с набором аксиом. Каковы существенные и желательные свойства, которыми должен обладать набор аксиом?

1. Аксиомы исследуются с учетом имплицируемых ими суждений. Следовательно, продуктивность является одним из свойств, которыми должны обладать аксиомы. Это означает, что аксиомы должны имплицировать много теорем. Однако не существует критерия, согласно которому набор допущений должен порождать всеобъемлющий набор теорем. Вероятнее всего продуктивность не является характеристикой, внутренне присущей набору аксиом. Однако она отражает способность мыслящего человека обнаруживать их импликации. Более того, важность набора допущений пропорциональна нашей способности отыскивать его интерпретации в исследованиях, проводимых в естественных науках или других областях математики. Ниже мы еще вернемся к этой теме.

2. Весьма желательным и исторически значимым свойством аксиом является их независимость. Набор допущений является независимым, если невозможно вывести какую-либо из аксиом из других. Если набор аксиом является независимым, то в данной системе возможно провести четкое различие между допущениями и теоремами. И до тех пор, пока мы не знаем, что имеем дело с независимыми суждениями, мы не способны сказать, имеем ли мы дело с различными и альтернативными возможностями или же просто с одной и той же возможностью, выраженной в другой форме.

Вопрос о том, являются ли аксиомы и постулаты Евклида независимыми, представляет большой исторический интерес. Многие величайшие открытия в математике, физике и философии были обусловлены многочисленными попытками дать ответ на этот вопрос. Как мы уже сказали в предыдущем параграфе, математики на протяжении более чем двух тысяч лет старались вывести параллельные постулаты из других допущений Евклида. Основой для этих попыток была убежденность в том, что все его допущения, за исключением допущения о параллельных прямых, были «самоочевидно истинными». Они считали недостатком то, что несамоочевидное суждение принималось в качестве аксиомы. Им не удалось вывести пятый постулат Евклида из других его постулатов без введения дополнительных допущений, не включенных в изначальный набор аксиом Евклида. Однако что же было доказано этой неудачей? Разве то, что пятый постулат не может быть выведен из остальных? Разумеется, нет. Однако факт этой неудачи заставил исследователей задуматься о ее причинах. Это привело к тому, что некоторые математики стали искать доказательство тому, что пятый постулат независим от остальных постулатов.

В результате такое доказательство было открыто. Мы видели, что доказательство состоит из указания на то, что определенные аксиомы имплицируют определенные теоремы. Мы отрицаем наличие такой импликации, если мы можем показать, как данные теоремы могут быть ложными при истинности аксиом. Развив возможную геометрическую систему, в которой отрицается пятый постулат Евклида, тогда как остальные аксиомы сохраняются, Лобачевский смог показать, что пятый постулат не может быть логическим следствием остальных аксиом. Нам еще предстоит увидеть, что это доказательство иллюстрирует форму логического принципа, который мы рассматривали, когда обсуждали несовместимую триаду. Если из набора (непротиворечивых) суждений Р имплицируется другое суждение Q, то суждения из набора Р и суждение, противоречащее (или противоположное) Q, будут несовместимы друг с другом. Если в наборе аксиом обнаруживается несовместимость, выражающаяся двумя несовместимыми суждениями, то задача выполнена: Q не является независимым от Р. Если в наборе аксиом несовместимость не проявляется, то тогда возможно обоснованно вывести одну или более теорем, которые будут противоречить либо некоторым аксиомам, либо некоторым теоремам, также обоснованно выведенным. С другой стороны, если Р не имплицирует Q, то набор суждений Р и суждение, противоречащее Q, вместе сформируют непротиворечивый набор, в котором никогда нельзя будет отыскать противоречие [45] .

Резюмируем сущность одного из типов неевклидовой геометрии. Пятый постулат Евклида эквивалентен допущению о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В геометрии Лобачевского данное допущение заменено допущением о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более чем одну прямую, параллельную данной. Из этого допущения, а также других допущений Евклида можно получить целую совокупность теорем, некоторые из которых будут тождественными теоремам Евклида, тогда как иные будут им противоречить. Так, суждения «углы у основания равнобедренного треугольника равны» и «две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу» для Евклида и Лобачевского являются общими. С другой стороны, суждения «сумма углов треугольника равна двум прямым углам» и «площадь окружности равна кг2» верны только в системе Евклида.

3. На данном этапе читатель может возразить: «Я все еще не вижу, чтобы было доказано, что пятый постулат является независимым от остальных. Вы показали, что, допустив постулат, противоречащий данному, можно получить совокупность теорем, отличающихся от теорем Евклида. Но вы еще не показали, что этот новый набор постулатов является непротиворечивым. И до тех пор, пока вы этого не сделаете, у вас не будет достаточно оснований, чтобы считать, что неевклидова геометрия действительно возможна».

Это вполне верно. Тот факт, что после того как любое конечное число теорем выведено из неевклидового набора допущений, не было встречено никаких противоречий, еще ничего не доказывает относительно непротиворечивости этого набора. Противоречие вполне может появиться после того, как будет получено большее количество теорем. Такое же возражение может быть приведено безотносительно количества выведенных теорем. Возражение читателя демонстрирует, насколько тесно связаны проблемы независимости и непротиворечивости в случае с набором суждений.

Мы, в свою очередь, также можем задать читателю вопрос. «Вы полагаете, что непротиворечивость неевклидовых геометрий не была доказана и что поскольку такого доказательства приведено не было, то сама их возможность поставлена под вопрос. Однако на каком основании вы считаете, что сама евклидова геометрия является непротиворечивой? Разумеется, верно то, что после двух тысяч лет ее изучения математики не обнаружили в ней каких-либо противоречий. Однако вы, конечно, не примете это в качестве доказательства. Поэтому в этом отношении, похоже, евклидова геометрия и неевклидовы геометрии находятся в одинаковом положении».

Попробуем разрешить затруднение читателя, еще раз обратившись к нашей миниатюрной математической системе и рассмотрев на ее примере эти же проблемы. Являются ли семь аксиом независимыми? Совместимы ли они друг с другом?

Математики обнаружили лишь один способ ответить на последний вопрос. Этот способ заключается в обнаружении набора сущностей, которые будут олицетворять отношения нашего набора абстрактных аксиом. При допущении о том, что эти сущности сами по себе не подвержены противоречию и что они на самом деле в полном смысле олицетворяют аксиомы, можно показать, что аксиомы также являются непротиворечивыми.

Проиллюстрируем то, как данный метод используется. Пусть числа от 0 до 6 включительно будут формировать различные группы по три числа в каждой нижеследующим образом:

Теперь рассмотрим эти семь чисел как элементы класса S. Тогда каждый столбец чисел будет представлять 1-класс. Несложный анализ показывает, что при такой интерпретации каждая из семи аксиом подтверждается на нашем наборе. Следовательно, аксиомы являются непротиворечивыми.

При этом следует подчеркнуть, что данный способ лишь отодвигает затруднение. Ведь все еще остается вопрос о том, является ли непротиворечивым данный набор сущностей, а также наш метод интерпретации. На этот вопрос в данное время полностью удовлетворительного ответа нет. Однако у нас есть определенная уверенность в том, что поскольку аксиомы Евклида позволили нам столь адекватно обращаться со свойствами и отношениями физических тел, то евклидова геометрия, как логическая система, также непротиворечива, поскольку мы полагаем, что ничто, находящееся в пространстве и времени, не может быть самопротиворечивым. Поскольку было показано, что неевклидовы геометрии сопоставимы (элемент к элементу) с евклидовой геометрией в соответствии с формулами определенной трансформации, следовательно, если в неевклидовой геометрии будет обнаружено противоречие, то соответствующее противоречие с необходимостью будет иметь место и в евклидовой геометрии [46] .

Обратимся еще раз к проблеме независимости аксиом и проиллюстрируем нашу проблему посредством нашей миниатюрной системы. Зависит ли аксиома 7\' от остальных аксиом? Ответ будет положительным, если первые шесть аксиом вместе с любым допущением, несовместимым с седьмой аксиомой, формируют непротиворечивое множество. Данное условие эквивалентно отысканию интерпретации, которая будет выполнять первые шесть аксиом и не будет выполнять седьмую. Такую интерпретацию можно дать несколькими способами, одним из которых является следующий:

Данные тринадцать чисел от 0 до 12 включительно являются членами S. Каждый столбец из четырех чисел представляет 1-класс, принадлежащий S. На поверку оказывается, что выполняются все аксиомы, кроме седьмой. Следовательно, данная аксиома независима от остальных шести. Сходным образом мы можем показать, что любое другое допущение независимо от остальных.